Calcule as derivadas parciais de 1^3 ordem.
24. f(u, v)=u v-ln (u v).

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira, segunda e terceira ordem da função f(u,v)=u v−ln(u v). O conteúdo principal é derivação parcial, usando regra do produto e regra da cadeia para ln.

Passo 2

Vamos começar pelas derivadas de primeira ordem. Para f(u,v)=u v−ln(u v) temos: derivando em relação a u, tratamos v como constante. A parte u v dá v, e a de −ln(u v) dá −(1/(u v))·v=−1/u. Logo,
fu=v-1u

Passo 3

Analogamente, derivando em relação a v (agora u é constante), a parte u v dá u, e a de −ln(u v) dá −(1/(u v))·u=−1/v. Então,
fv=u-1v

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem. Derivando f_u=v−1/u em relação a u e v: em relação a u, v some e −1/u vira +1/u^2, ou seja,
fuu=1u^2

Passo 5

Em relação a v, v vira 1 e −1/u é constante, logo
fuv=1
Como a ordem não importa, f_{vu}=1. Já derivando f_v=u−1/v em relação a v temos: u some e −1/v vira +1/v^2, então
fvv=1v^2

Passo 6

Por fim, as derivadas de terceira ordem. Derivando f_{uu}=1/u^2 em relação a u dá −2/u^3, e em relação a v dá 0:
fuuu=-2u^3, fuuv=0

Passo 7

Derivando f_{uv}=1 em relação a v dá 0, e f_{vv}=1/v^2 derivado em v dá −2/v^3. Então:
fuvv=0, fvvv=-2v^3

Resposta

Primeira ordem:
fu=v-1u, fv=u-1v
Segunda ordem:
fuu=1u^2, fuv=fvu=1, fvv=1v^2
Terceira ordem:
fuuu=-2u^3, fuuv=fuvv=0, fvvv=-2v^3

Exercícios relacionados