Calcule a derivada segunda
o) y=3^2 x+1+log 2(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada da função y = 3^2x+1 + log2(x^2+1). O conteúdo envolvido é derivação de função exponencial de base qualquer e derivação de logaritmo de base b. Vamos precisar usar a regra da cadeia, a fórmula ddx a^u(x) = a^u(x) ln a ; u'(x) e a fórmula ddx logb u(x) = u'(x)u(x) ln b.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar y'. Para o termo 3^2x+1 aplicamos a regra da cadeia: a derivada do expoente 2x+1 é 2, logo
y' = 2ln 3 ;3^2x+1 + 2x(x^2+1)ln2

Passo 3

Agora vamos achar y'' derivando cada parcela de y'. Derivada de 2ln3;3^2x+1:
ddxl(2ln3;3^2x+1r) = 2ln3 cdot 3^2x+1 ln3 cdot 2 = 4(ln3)^2 ;3^2x+1

Passo 4

Derivada de tfrac2x(x^2+1)ln2: use regra do quociente em h(x)=2x e g(x)=x^2+1,
ddxl(2xx^2+1r)=2(x^2+1)-2xcdot2x(x^2+1)^2=2-2x^2(x^2+1)^2=2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 5

Dividindo por ln2 fica
ddxl(2x(x^2+1)ln2r)=2(1-x^2)(x^2+1)^2ln2

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
y'' = 4(ln3)^2;3^2x+1 + 2(1-x^2)(x^2+1)^2ln2

Resposta

y'' = 4(ln3)^2;3^2x+1 + 2(1-x^2)(x^2+1)^2ln2

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