Calcule a derivada segunda
y=sin (cos x)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de y=sin(cos x). Vamos usar duas ideias principais de Cálculo Diferencial: a regra da cadeia para obter a primeira derivada e, em seguida, a regra do produto (junto com outra cadeia) para obter a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira y' aplicando regra da cadeia em
y=sin(u), u=cos x
Temos
dydx=cos(u),dudx
e como dudx=ddx(cos x)=-sin x,
y'=cos(cos x),(-sin x)=-sin xcos(cos x)

Passo 3

Agora calculamos y'' tomando a derivada de
y'=-sin x;cos(cos x)
Isso é um produto de f(x)=-sin x e g(x)=cos(cos x). Pela regra do produto,
y''=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)
Calculamos cada termo:
f'(x)=ddx(-sin x)=-cos x,
g'(x)=ddxl(cos(cos x)r) =-sin(cos x),ddx(cos x) =-sin(cos x),(-sin x) =sin x;sin(cos x)
Substituindo em y'':
y'' =(-cos x)cos(cos x)+(-sin x)l(sin xsin(cos x)r)

Passo 4

Só falta simplificar o produto
y''=-cos xcos(cos x)-sin^2 x,sin(cos x)

Resposta

y''=-cos xcos(cos x)-sin^2 x,sin(cos x)

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