Determine os extremos relativos da função dada, se existir.
Livro: Cálculo B - Leithold - pág. 996
Livro: Cálculo B - Leithold - pág. 996
Passo 1
O enunciado pede os extremos relativos da função
Isso é um problema de cálculo de funções de duas variáveis: primeiro achamos os pontos críticos (gradiente nulo) e depois usamos o Hessiano para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Logo, há quatro pontos críticos:
.
Passo 4
Montamos o Hessiano e o discriminante de Sylvester:
Se
e
é mínimo, se
e
é máximo, se
é ponto de sela.
Passo 5
Analisando cada ponto:
– Em
:
e
mínimo relativo.
– Em
:
ponto de sela.
– Em
:
ponto de sela.
– Em
:
e
máximo relativo.
Resposta
(
) é um mínimo relativo com
.
(- ,-
) é um máximo relativo com
.
( ,-
) e (-
) são pontos de sela.
(-
(