Determine os extremos relativos da função dada, se existir.
f(x, y)=x^3+y^3+3 y^2-3 x-9 y+2
Livro: Cálculo B - Leithold - pág. 996

Passo 1

O enunciado pede os extremos relativos da função
f(x,y)=x^3+y^3+3y^2-3x-9y+2
Isso é um problema de cálculo de funções de duas variáveis: primeiro achamos os pontos críticos (gradiente nulo) e depois usamos o Hessiano para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx=partial fpartial x=3x^2-3=3(x^2-1),
fy=partial fpartial y=3y^2+6y-9=3(y^2+2y-3)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
fx=0implies x^2-1=0implies x=pm1,
fy=0implies y^2+2y-3=0implies y=1 ou y=-3
Logo, há quatro pontos críticos:
(1,1),;(1,-3),;(-1,1),;(-1,-3).

Passo 4

Montamos o Hessiano e o discriminante de Sylvester:
Se e é mínimo, se e é máximo, se é ponto de sela.

Passo 5

Analisando cada ponto:
– Em (1,1):
D=36cdot1cdot(1+1)=72>0 e fxx(1,1)=6>0 Rightarrow mínimo relativo.
f(1,1)=1+1+3-3-9+2=-5
– Em (1,-3):
D=36cdot1cdot(-3+1)=-72<0 Rightarrow ponto de sela.
– Em (-1,1):
D=36cdot(-1)cdot(1+1)=-72<0 Rightarrow ponto de sela.
– Em (-1,-3):
D=36cdot(-1)cdot(-3+1)=72>0 e fxx(-1,-3)=-6<0 Rightarrow máximo relativo.
f(-1,-3)=-1-27+27+3+27+2=31

Resposta

( 1,1) é um mínimo relativo com f(1,1)=-5.
(- 1,- 3) é um máximo relativo com f(-1,-3)=31.
( 1,- 3) e (- 1,1) são pontos de sela.

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