Encontre a derivada das funções usando a definição:
f(x)=sen(2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=sin(2x) usando a definição de derivada por limite. Vamos usar
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h,
a identidade trigonométrica para diferença de senos e o limite limuto0sin(u)u=1.

Passo 2

Escrevendo o quociente de diferença para f:
f'(x) =limhto 0sinl(2(x+h)r)-sin(2x)h =limhto 0sin(2x+2h)-sin(2x)h

Passo 3

Aplicamos a identidade
sin(A)-sin(B)=2cos!l(A+B2r),sin!l(A-B2r)
com A=2x+2h e B=2x. Isso dá
sin(2x+2h)-sin(2x) =2cos(2x+h),sin(h)
Logo o quociente fica
sin(2x+2h)-sin(2x)h =2cos(2x+h),sin(h)h

Passo 4

Fatorando a constante e separando limites:
f'(x) =2limhto 0cos(2x+h),sin(h)h
Como limhto0cos(2x+h)=cos(2x) e limhto0tfracsin(h)h=1, concluímos
f'(x)=2cos(2x)

Resposta

A derivada de f(x)=sin(2x) é
f'(x)=2cos(2x)

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