Calcule a derivada segunda
y=x^sin 3 x

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
y = x^sin 3x
O conteúdo é derivação de função do tipo f(x)^g(x), e vamos usar logaritmo natural para simplificar a diferenciação.

Passo 2

Aplicamos logaritmo em ambos os lados para usar diferenciação implícita:
ln y = sin 3x ,ln x
Agora derivamos ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Derivando ln y e o produto sin3xcdotln x, obtemos
y'y = ddx(sin3x),ln x + sin3x,ddx(ln x) = 3cos3x,ln x + sin3xx
Portanto, definindo
A(x) = 3cos3x,ln x + sin3xx,
temos
y' = y,A(x) = x^sin3x,l(3cos3x,ln x + sin3xxr)

Passo 4

Para achar y'', derivamos y' = y,A usando produto:
y'' = y',A + y,A' = y,A^2 + y,A'
Falta calcular A'(x). Como
A(x) = 3cos3x,ln x + x^-1sin3x,
temos
ddxl(3cos3x,ln xr) = 3l(-3sin3x,ln x + cos3xxr) = -9sin3x,ln x + 3cos3xx,
e
ddxl(x^-1sin3xr) = x^-1cdot3cos3x + sin3xcdot(-x^-2) = 3cos3xx - sin3xx^2
Somando,
A'(x) = -9sin3x,ln x + 6cos3xx - sin3xx^2
Logo
y'' = x^sin3xl[A(x)^2 + A'(x)r]

Resposta

y'' = x^sin3xgl[l(3cos3x,ln x + sin3xxr)^2 -9sin3x,ln x + 6cos3xx - sin3xx^2gr]

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