Calcule a derivada segunda
y=3^2 x+1+log 2(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
y = 3^2x+1 + log2l(x^2+1r)
O que vamos usar:
– Regra da cadeia para a função exponencial 3^2x+1, lembrando que
ddxa^u=a^uln(a),u'.
– Derivada do logaritmo em base 2:
ddxlog2(u)=1u,ln2,u'.
– Regra do quociente para derivados do tipo 2xx^2+1.

Passo 2

Vamos achar a primeira derivada y'.
  1. Para 3^2x+1:
ddx3^2x+1=3^2x+1ln(3)cdotddx(2x+1) =2ln(3),3^2x+1
  1. Para log2(x^2+1):
ddxlog2(x^2+1) =1(x^2+1)ln2cdotddx(x^2+1) =2x(x^2+1)ln2
Logo,
y' = 2ln(3),3^2x+1 ;+;2x(x^2+1)ln2

Passo 3

Agora derivamos cada parcela de y' para obter y''.
  1. Da parte 2ln(3),3^2x+1:
ddxl[2ln(3),3^2x+1r] =2ln(3),l(3^2x+1ln(3)cdot2r) =4(ln3)^2,3^2x+1
  1. Da parte 2x(x^2+1)ln2:
    extraímos 1/ln2 e aplicamos regra do quociente a 2x/(x^2+1):
ddx2xx^2+1 =2,(x^2+1)-2xcdot2x(x^2+1)^2 =2-2x^2(x^2+1)^2 =2(1-x^2)(x^2+1)^2
Dividindo por ln2, fica
2(1-x^2)(x^2+1)^2ln2.

Resposta

y'' = 4(ln3)^2,3^2x+1 ;+;2l(1 - x^2r)(x^2+1)^2,ln2,

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