Calcule a derivada segunda
y=x^x sin x

Passo 1

A gente quer achar a segunda derivada de
y = x^x sin x
Aqui vamos usar a regra do produto e também a derivada de x^x, que obtém-se escrevendo x^x = e^xln x e aplicando a cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos
f(x)=x^x
e
f'(x)=ddxe^xln x = e^xln xl(ln x +1r) = x^xl(ln x+1r)
Pela regra do produto,
y' = f'(x),sin x + f(x),cos x = x^x(ln x+1)sin x + x^xcos x

Passo 3

Para achar y'', derive
y' = A(x)sin x + f(x)cos x,
onde A(x)=f'(x)=x^x(ln x+1).
Aplicando produto em cada termo:
y'' = A'(x)sin x + A(x)cos x + f'(x)cos x - f(x)sin x
Ou seja,
y'' = A'(x)sin x + l[A(x)+f'(x)r]cos x - f(x)sin x

Passo 4

Agora computamos
A(x)=x^x(ln x+1),
A'(x) = ddxl[x^x(ln x+1)r] = f'(x)(ln x+1)+f(x)cdot1x = x^xl[(ln x+1)^2 + 1xr]
E
A(x)+f'(x) = x^x(ln x+1) + x^x(ln x+1) = 2,x^x(ln x+1)

Passo 5

Substituindo em y'' e fatorando x^x,
y'' = x^xl[l((ln x+1)^2+tfrac1xr)sin x +2(ln x+1)cos x -sin xr]
Note que (ln x+1)^2-1 = (ln x)^2+2ln x, logo
y'' = x^xl[l((ln x)^2+2ln x+tfrac1xr)sin x +2(ln x+1)cos xr]

Resposta

y'' = x^xl[l((ln x)^2+2ln x+tfrac1xr)sin x + 2(ln x+1)cos xr]

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