Usando as propriedades e regras de derivação, encontre a derivada das funções:
f(x)=raiz2 x sen(4 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz2x,sen(4x)
Aqui vamos usar a regra do produto (para derivar um produto g(x),h(x)) e, dentro disso, a regra da cadeia (para derivar composições de funções).

Passo 2

Seja
g(x)=raiz2x=(2x)^1/2, h(x)=sen(4x)
Pela regra do produto:
f'(x)=g'(x),h(x)+g(x),h'(x)

Passo 3

Para g'(x) usamos a regra da cadeia em (2x)^1/2. Primeiro a derivada de u^1/2 em relação a u é tfrac12u^-1/2, depois multiplicamos por u'=2. Assim,
g'(x) =12,(2x)^-1/2cdot 2 =(2x)^-1/2 =1raiz2x

Passo 4

Para h'(x) derivamos sen(4x) também pela cadeia: a derivada de sen(u) é cos(u) vezes u'=4. Logo,
h'(x)=4cos(4x)
Substituindo em f'(x)=g'h+gh' obtemos
f'(x) =1raiz2x;sen(4x) +raiz2x;l(4cos(4x)r)

Resposta

f'(x)=sen(4x)raiz2x+4raiz2x,cos(4x)

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