Mostre que
\cos w+\cos w=2 \cos \left(\frac{z+w}{2}\right) \cos \left(\frac{z-w}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\cos z + \cos w = 2 \cos\!\Bigl(\frac{z+w}{2}\Bigr)\,\cos\!\Bigl(\frac{z-w}{2}\Bigr).
O conteúdo aqui é manipular expressões trigonométricas, e vamos usar a fórmula de Euler para o cosseno:
\cos x = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}.

Passo 2

Usando a fórmula de Euler para cada cosseno, escrevemos
\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}, \quad \cos w = \frac{e^{i w} + e^{-i w}}{2}.
Logo, a soma fica
\cos z + \cos w = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} + \frac{e^{i w} + e^{-i w}}{2} = \frac{1}{2}\bigl(e^{i z} + e^{-i z} + e^{i w} + e^{-i w}\bigr).

Passo 3

Agrupamos os termos de mesma “orientação” nos expoentes:
e^{i z} + e^{i w} \quad\text{e}\quad e^{-i z} + e^{-i w}.
Fatoramos e^{i(z+w)/2} do primeiro grupo e e^{-i(z+w)/2} do segundo:
e^{i z} + e^{i w} = e^{i\frac{z+w}{2}}\bigl(e^{i\frac{z-w}{2}} + e^{-i\frac{z-w}{2}}\bigr) = 2\,e^{i\frac{z+w}{2}}\cos\!\Bigl(\frac{z-w}{2}\Bigr),
e^{-i z} + e^{-i w} = e^{-i\frac{z+w}{2}}\bigl(e^{i\frac{w-z}{2}} + e^{-i\frac{w-z}{2}}\bigr) = 2\,e^{-i\frac{z+w}{2}}\cos\!\Bigl(\frac{z-w}{2}\Bigr).

Passo 4

Substituindo esses resultados de volta em \cos z + \cos w, temos
\cos z + \cos w = \frac{1}{2}\Bigl( 2\,e^{i\frac{z+w}{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr) +2\,e^{-i\frac{z+w}{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr) \Bigr).
Colocando o fator comum \cos\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr) em evidência:
\cos z + \cos w = \cos\!\Bigl(\tfrac{z-w}{2}\Bigr)\,\bigl(e^{i\frac{z+w}{2}} + e^{-i\frac{z+w}{2}}\bigr).
Mas
e^{i\frac{z+w}{2}} + e^{-i\frac{z+w}{2}} = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{z+w}{2}\Bigr).

Passo 5

Juntando tudo, concluímos
\cos z + \cos w = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{z+w}{2}\Bigr)\,\cos\!\Bigl(\tfrac{z-w}{2}\Bigr),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\cos z + \cos w = 2 \cos\!\Bigl(\frac{z+w}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{z-w}{2}\Bigr).

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