Calcule a derivada de \tilde{f} em cada caso. f(x, y, z)=\ln \left((2 x y)^{2}+1\right) z^{2}, \quad \alpha(t)=\left(\cos \left(\frac{t^{2}}{2}\right), \operatorname{sen}\left(\frac{t^{2}}{2}\right),(t+1)^{3}\right)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função composta \tilde{f} obtida ao avaliar
Dados relevantes: \;f é função de três variáveis x,y,z. \;\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) com x(t)=\cos\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr), y(t)=\sin\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr), z(t)=(t+1)^{3}.
A tarefa é calcular \dfrac{d}{dt}\tilde f(t) onde \tilde f(t)=f(\alpha(t)).
Passo 2
Estratégia (em palavras simples): para derivar uma composição t\mapsto f(x(t),y(t),z(t)) usamos a regra da cadeia multivariável. Uma forma conveniente é escrever
ou seja, calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z, avaliar em \alpha(t) e fazer o produto escalar com \alpha'(t). Vou fazer isso passo a passo e explicar cada derivada que uso.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f.
Primeiro simplifico o interior:
(2xy)^{2}+1 = 4x^{2}y^{2}+1.
Defino u(x,y)=4x^{2}y^{2}+1. Então f(x,y,z)=\ln(u(x,y))\;z^{2}.
Derivada parcial em relação a x: aplico a regra da cadeia para \ln(u) e a regra do produto com z^{2} (que é visto aqui como constante quando derivamos em x):
Para x(t)=\cos\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr) uso a cadeia: derivada de \cos é -\sin vezes derivada do argumento \tfrac{t^{2}}{2} que é t. Então
x'(t)=-t\sin\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr).
Para y(t)=\sin\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr) analogamente
y'(t)=t\cos\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr).
Para z(t)=(t+1)^{3} a derivada é
z'(t)=3(t+1)^{2}.
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais em \alpha(t) (substituir x=\cos\theta,\;y=\sin\theta,\;z=(t+1)^{3} com \theta=\tfrac{t^{2}}{2}) e simplificar onde for conveniente.
Defino \theta=\tfrac{t^{2}}{2} para escrever mais curto. Então x=\cos\theta,\;y=\sin\theta,\;z=(t+1)^{3}.
Calculo o denominador 4x^{2}y^{2}+1 em termos de \theta. Note que