Calcule a derivada de \tilde{f} em cada caso.
f(x, y, z)=\ln \left((2 x y)^{2}+1\right) z^{2}, \quad \alpha(t)=\left(\cos \left(\frac{t^{2}}{2}\right), \operatorname{sen}\left(\frac{t^{2}}{2}\right),(t+1)^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta \tilde{f} obtida ao avaliar
f(x,y,z)=\ln\bigl((2xy)^{2}+1\bigr)\,z^{2}
no parâmetro
\alpha(t)=\bigl(\cos\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr),\;\sin\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr),\;(t+1)^{3}\bigr).
Dados relevantes:
\;f é função de três variáveis x,y,z.
\;\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) com x(t)=\cos\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr), y(t)=\sin\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr), z(t)=(t+1)^{3}.
A tarefa é calcular \dfrac{d}{dt}\tilde f(t) onde \tilde f(t)=f(\alpha(t)).

Passo 2

Estratégia (em palavras simples): para derivar uma composição t\mapsto f(x(t),y(t),z(t)) usamos a regra da cadeia multivariável. Uma forma conveniente é escrever
\frac{d}{dt}\tilde f(t)=\nabla f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\cdot \bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr),
ou seja, calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z, avaliar em \alpha(t) e fazer o produto escalar com \alpha'(t). Vou fazer isso passo a passo e explicar cada derivada que uso.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
Primeiro simplifico o interior:
(2xy)^{2}+1 = 4x^{2}y^{2}+1.
Defino u(x,y)=4x^{2}y^{2}+1. Então f(x,y,z)=\ln(u(x,y))\;z^{2}.
Derivada parcial em relação a x: aplico a regra da cadeia para \ln(u) e a regra do produto com z^{2} (que é visto aqui como constante quando derivamos em x):
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x}\; z^{2}.
Calculo \partial u/\partial x:
u=4x^{2}y^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=8x y^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{8x y^{2}}{4x^{2}y^{2}+1}\; z^{2}.
Derivada parcial em relação a y (mesma ideia):
\frac{\partial u}{\partial y}=8x^{2}y,
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\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{8x^{2} y}{4x^{2}y^{2}+1}\; z^{2}.
Derivada parcial em relação a z: agora \ln(u) é constante em z, e z^{2} deriva como 2z:
\frac{\partial f}{\partial z}=2z\;\ln\bigl(4x^{2}y^{2}+1\bigr).

Passo 4

Calcular \alpha'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Para x(t)=\cos\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr) uso a cadeia: derivada de \cos é -\sin vezes derivada do argumento \tfrac{t^{2}}{2} que é t. Então
x'(t)=-t\sin\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr).
Para y(t)=\sin\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr) analogamente
y'(t)=t\cos\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr).
Para z(t)=(t+1)^{3} a derivada é
z'(t)=3(t+1)^{2}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em \alpha(t) (substituir x=\cos\theta,\;y=\sin\theta,\;z=(t+1)^{3} com \theta=\tfrac{t^{2}}{2}) e simplificar onde for conveniente.
Defino \theta=\tfrac{t^{2}}{2} para escrever mais curto. Então x=\cos\theta,\;y=\sin\theta,\;z=(t+1)^{3}.
Calculo o denominador 4x^{2}y^{2}+1 em termos de \theta. Note que
2xy = 2\cos\theta\sin\theta = \sin(2\theta),
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4x^{2}y^{2}+1 = \bigl(2xy\bigr)^{2}+1 = \sin^{2}(2\theta)+1 = 1+\sin^{2}(2\theta).
Mas cuidado: como \theta=\tfrac{t^{2}}{2}, temos 2\theta=t^{2}. Portanto
4x^{2}y^{2}+1 = 1+\sin^{2}(t^{2}).
Também z^{2}=(t+1)^{6}.
Agora escrevo as derivadas parciais avaliadas em \alpha(t):
\frac{\partial f}{\partial x}\biggr|_{\alpha(t)}=\frac{8\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{\,1+\sin^{2}(t^{2})\,}\;(t+1)^{6},
\frac{\partial f}{\partial y}\biggr|_{\alpha(t)}=\frac{8\cos^{2}\theta\,\sin\theta}{\,1+\sin^{2}(t^{2})\,}\;(t+1)^{6},
\frac{\partial f}{\partial z}\biggr|_{\alpha(t)}=2(t+1)^{3}\,\ln\bigl(1+\sin^{2}(t^{2})\bigr).

Passo 6

Fazer o produto escalar \nabla f(\alpha(t))\cdot \alpha'(t). Escrevo termo a termo.
Primeiros dois termos (componentes x,y):
\begin{aligned} &\frac{\partial f}{\partial x}\biggr|_{\alpha(t)} x'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\biggr|_{\alpha(t)} y'(t) \\\ &= \frac{(t+1)^{6}}{1+\sin^{2}(t^{2})}\Bigl(8\cos\theta\,\sin^{2}\theta\cdot(-t\sin\theta)+8\cos^{2}\theta\,\sin\theta\cdot(t\cos\theta)\Bigr). \end{aligned}
Simplifico dentro do parêntese:
8\cos\theta\,\sin^{2}\theta\cdot(-t\sin\theta) = -8t\cos\theta\,\sin^{3}\theta,
8\cos^{2}\theta\,\sin\theta\cdot(t\cos\theta) = 8t\cos^{3}\theta\,\sin\theta.
Somando:
8t\cos\theta\,\sin\theta\bigl(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr).
Usando identidades trigonométricas: \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos(2\theta) e 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta). Assim
8t\cos\theta\,\sin\theta\bigl(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr) =8t\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2}\cdot\cos(2\theta) =4t\sin(2\theta)\cos(2\theta).
E \sin(2\theta)\cos(2\theta)=\tfrac{1}{2}\sin(4\theta). Então o fator inteiro vira
4t\cdot\frac{1}{2}\sin(4\theta)=2t\sin(4\theta).
Lembrando 4\theta=4\cdot\tfrac{t^{2}}{2}=2t^{2}, obtemos \sin(4\theta)=\sin(2t^{2}).
Portanto os dois primeiros termos combinados dão
\frac{(t+1)^{6}}{1+\sin^{2}(t^{2})}\;2t\sin(2t^{2}) = \frac{2t (t+1)^{6}\sin(2t^{2})}{1+\sin^{2}(t^{2})}.

Passo 7

Agora o terceiro termo (componente z):
\frac{\partial f}{\partial z}\biggr|_{\alpha(t)} z'(t) =2(t+1)^{3}\ln\bigl(1+\sin^{2}(t^{2})\bigr)\cdot 3(t+1)^{2} =6(t+1)^{5}\ln\bigl(1+\sin^{2}(t^{2})\bigr).
Somando tudo, a derivada \dfrac{d}{dt}\tilde f(t) é a soma dos resultados dos passos anteriores:
\frac{d}{dt}\tilde f(t) = \frac{2t (t+1)^{6}\sin(2t^{2})}{1+\sin^{2}(t^{2})} +6(t+1)^{5}\ln\bigl(1+\sin^{2}(t^{2})\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}\tilde f(t)=\frac{2t (t+1)^{6}\sin(2t^{2})}{1+\sin^{2}(t^{2})}+6(t+1)^{5}\ln\bigl(1+\sin^{2}(t^{2})\bigr)

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