Calcule a derivada de \tilde{f} em cada caso.
f(x, y)=x^{2} y+\cos \left(e^{x+y}\right), \quad \alpha(t)=\left(t-1, t^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis f e uma curva \alpha, e pede a derivada da função composta \tilde{f} (isto é, \tilde{f}(t)=f(\alpha(t))). Dados fornecidos:
f(x,y)=x^{2}y+\cos\bigl(e^{x+y}\bigr)
\alpha(t)=\bigl(t-1,\;t^{2}+1\bigr)
A pergunta é: calcular \dfrac{d}{dt}\tilde{f}(t) para todo t.

Passo 2

Ideia principal (cadeia para funções de várias variáveis, explicada com calma): se \tilde{f}(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr) com x(t) e y(t) dadas, então a derivada de \tilde{f} usa as derivadas parciais de f e as derivadas de x e y. A fórmula é
\tilde{f}'(t)=f_{x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)+f_{y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Explicando: f_{x} significa "derivada parcial de f em relação a x", ou seja, tratar y como constante e derivar em x; f_{y} é análogo. O resultado é uma soma ponderada das variações de f nas direções x e y, com pesos iguais às velocidades x'(t) e y'(t).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f devagarinho, mostrando cada passo.
Derivando f(x,y)=x^{2}y+\cos\bigl(e^{x+y}\bigr) em relação a x:
  • A parte x^{2}y: y é constante, então a derivada é 2x y.
  • A parte \cos\bigl(e^{x+y}\bigr): use a regra da cadeia duas vezes. Primeiro, derivada de \cos(u) é -\sin(u) multiplicada por u'. Aqui u=e^{x+y}. Em seguida, u'=e^{x+y} (derivada de e^{x+y} em relação a x é e^{x+y}). Logo o resultado é -\sin\bigl(e^{x+y}\bigr)\cdot e^{x+y}.
    Somando:
f_{x}(x,y)=2x y - e^{x+y}\sin\bigl(e^{x+y}\bigr).
Agora derivando em relação a y:
  • A parte x^{2}y: x^{2} é constante, então a derivada é x^{2}.
  • A parte \cos\bigl(e^{x+y}\bigr): novamente -\sin\bigl(e^{x+y}\bigr) vezes a derivada de e^{x+y} em relação a y, que é e^{x+y}. Resultado igual ao caso anterior.
f_{y}(x,y)=x^{2} - e^{x+y}\sin\bigl(e^{x+y}\bigr).

Passo 4

Calcular as derivadas das componentes de \alpha. Se \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) com x(t)=t-1 e y(t)=t^{2}+1, então
x'(t)=1,\qquad y'(t)=2t.
(Isto vem da derivação termo a termo: derivada de t-1 é 1; derivada de t^{2}+1 é 2t.)

Passo 5

Aplicar a fórmula da cadeia vista no Passo 2, substituindo f_{x}, f_{y}, x'(t), y'(t) e avaliando f_{x} e f_{y} em \bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t-1,\;t^{2}+1\bigr).
Primeiro observe que x(t)+y(t)=(t-1)+(t^{2}+1)=t^{2}+t. Então e^{x+y} avaliado na curva é e^{t^{2}+t}.
Escrevendo a expressão:
\tilde{f}'(t)=f_{x}\bigl(t-1,t^{2}+1\bigr)\cdot 1 + f_{y}\bigl(t-1,t^{2}+1\bigr)\cdot 2t.
Substituindo as expressões de f_{x} e f_{y}:
\tilde{f}'(t)=\Bigl(2(t-1)(t^{2}+1)-e^{t^{2}+t}\sin\bigl(e^{t^{2}+t}\bigr)\Bigr)\cdot 1 +\Bigl((t-1)^{2}-e^{t^{2}+t}\sin\bigl(e^{t^{2}+t}\bigr)\Bigr)\cdot 2t.

Passo 6

Simplificar passo a passo a expressão obtida:
Separe em duas partes: a parte polinomial (vinda de 2x y e x^{2}) e a parte envolvendo e^{t^{2}+t}\sin(e^{t^{2}+t}).
Parte polinomial:
2(t-1)(t^{2}+1)+2t(t-1)^{2}.
Vamos expandir devagar:
(t-1)(t^{2}+1)=t^{3}-t^{2}+t-1,
multiplicando por 2:
2(t-1)(t^{2}+1)=2t^{3}-2t^{2}+2t-2.
E
(t-1)^{2}=t^{2}-2t+1,
então
2t(t-1)^{2}=2t(t^{2}-2t+1)=2t^{3}-4t^{2}+2t.
Somando as duas peças polinomiais:
2t^{3}-2t^{2}+2t-2 + 2t^{3}-4t^{2}+2t = 4t^{3}-6t^{2}+4t-2.
Parte com exponencial e seno:
ambas as parcelas trazem -e^{t^{2}+t}\sin\bigl(e^{t^{2}+t}\bigr), uma multiplicada por 1 e outra por 2t. Somando:
-\bigl(1+2t\bigr)\,e^{t^{2}+t}\sin\bigl(e^{t^{2}+t}\bigr).

Passo 7

Juntando as duas partes obtemos a expressão final simplificada para a derivada:
\tilde{f}'(t)=4t^{3}-6t^{2}+4t-2-\bigl(1+2t\bigr)e^{t^{2}+t}\sin\bigl(e^{t^{2}+t}\bigr).

Resposta

\tilde{f}'(t)=4t^{3}-6t^{2}+4t-2-\bigl(1+2t\bigr)e^{t^{2}+t}\sin\bigl(e^{t^{2}+t}\bigr)

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