Calcule a derivada de
em cada caso.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e uma curva
, e pede a derivada da função composta
(isto é,
). Dados fornecidos:
A pergunta é: calcular para todo
.
A pergunta é: calcular
Passo 2
Ideia principal (cadeia para funções de várias variáveis, explicada com calma): se
com
e
dadas, então a derivada de
usa as derivadas parciais de
e as derivadas de
e
. A fórmula é
Explicando:
significa "derivada parcial de
em relação a
", ou seja, tratar
como constante e derivar em
;
é análogo. O resultado é uma soma ponderada das variações de
nas direções
e
, com pesos iguais às velocidades
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
devagarinho, mostrando cada passo.
Derivando
em relação a
:
- A parte
: é constante, então a derivada é . - A parte
: use a regra da cadeia duas vezes. Primeiro, derivada de é multiplicada por . Aqui . Em seguida, (derivada de em relação a é ). Logo o resultado é .
Somando:
Agora derivando em relação a
:
- A parte
: é constante, então a derivada é . - A parte
: novamente vezes a derivada de em relação a , que é . Resultado igual ao caso anterior.
Passo 4
Calcular as derivadas das componentes de
. Se
com
e
, então
(Isto vem da derivação termo a termo: derivada de
é
; derivada de
é
.)
Passo 5
Aplicar a fórmula da cadeia vista no Passo 2, substituindo
,
,
,
e avaliando
e
em
.
Primeiro observe que
. Então
avaliado na curva é
.
Escrevendo a expressão:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 6
Simplificar passo a passo a expressão obtida:
Separe em duas partes: a parte polinomial (vinda de
e
) e a parte envolvendo
.
Parte polinomial:
Vamos expandir devagar:
multiplicando por
:
E
então
Somando as duas peças polinomiais:
Parte com exponencial e seno:
ambas as parcelas trazem , uma multiplicada por
e outra por
. Somando:
ambas as parcelas trazem
Passo 7
Juntando as duas partes obtemos a expressão final simplificada para a derivada: