Calcule as derivadas parciais de \tilde{f} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}, se preferir), em cada caso. f(x, y, z)=e^{x+y}\left(x^{3}+3 x y^{2}+z\right), \quad \varphi(u, v)=(\cos (u), \operatorname{sen}(u), v)
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de \tilde{f}, sendo \tilde{f}=f\circ\varphi. As funções dadas são:
Portanto a tarefa é calcular \displaystyle \frac{\partial\tilde{f}}{\partial u} e \displaystyle \frac{\partial\tilde{f}}{\partial v} (ou a matriz Jacobiana D\tilde{f}, que, por \tilde{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, será uma linha com essas duas derivadas). Aqui estão as informações relevantes que temos: a expressão de f em (x,y,z) e a expressão de \varphi em (u,v). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de f em termos de x,y,z. Note que f é produto de e^{x+y} por h(x,y,z)=x^{3}+3xy^{2}+z. Aplicamos a regra do produto:
f(x,y,z)=e^{x+y}\,h(x,y,z).
Derivando em relação a x (produto + derivada de e^{x+y} que é e^{x+y}):
Aqui Df é a linha \bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y},\tfrac{\partial f}{\partial z}\bigr) avaliada em \varphi(u,v), e D\varphi é a matriz obtida no passo anterior. Para funções escalares isso equivale às fórmulas de derivadas parciais por produto escalar:
Substituímos as derivadas de f (do Passo 2) e as derivadas de \varphi (do Passo 3). Primeiro avalie as parciais de f no ponto (x,y,z)=(\cos u,\operatorname{sen} u,v). Defina para simplificar
Podemos expandir um pouco a expressão de \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial u} para ficar mais interpretável. Lembrando A=\cos^{3}u+3\cos u\,\operatorname{sen}^{2}u+v, temos: