Calcule as derivadas parciais de \tilde{f} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}, se preferir), em cada caso.
f(x, y, z)=e^{x+y}\left(x^{3}+3 x y^{2}+z\right), \quad \varphi(u, v)=(\cos (u), \operatorname{sen}(u), v)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de \tilde{f}, sendo \tilde{f}=f\circ\varphi. As funções dadas são:
f(x,y,z)=e^{x+y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}+z\bigr),
\varphi(u,v)=\bigl(\cos(u),\;\operatorname{sen}(u),\;v\bigr).
Portanto a tarefa é calcular \displaystyle \frac{\partial\tilde{f}}{\partial u} e \displaystyle \frac{\partial\tilde{f}}{\partial v} (ou a matriz Jacobiana D\tilde{f}, que, por \tilde{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, será uma linha com essas duas derivadas). Aqui estão as informações relevantes que temos: a expressão de f em (x,y,z) e a expressão de \varphi em (u,v). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de f em termos de x,y,z. Note que f é produto de e^{x+y} por h(x,y,z)=x^{3}+3xy^{2}+z. Aplicamos a regra do produto:
f(x,y,z)=e^{x+y}\,h(x,y,z).
Derivando em relação a x (produto + derivada de e^{x+y} que é e^{x+y}):
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) &= e^{x+y}\,h(x,y,z) + e^{x+y}\,\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z)\\\ &= e^{x+y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}+z\bigr) + e^{x+y}\bigl(3x^{2}+3y^{2}\bigr). \end{aligned}
Podemos fatorar e^{x+y}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=e^{x+y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}+z+3x^{2}+3y^{2}\bigr).
Agora \partial f/\partial y: mesma ideia (derivada de e^{x+y} em y é e^{x+y}; derivada de h em y é 6xy):
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) &= e^{x+y}\,h(x,y,z) + e^{x+y}\,\frac{\partial h}{\partial y}(x,y,z)\\\ &= e^{x+y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}+z\bigr) + e^{x+y}\bigl(6xy\bigr)\\\ &= e^{x+y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}+z+6xy\bigr). \end{aligned}
Finalmente \partial f/\partial z: somente h depende de z linearmente, então
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=e^{x+y}.
Resumo das parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x+y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}+z+3x^{2}+3y^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}+z+6xy\bigr),
\frac{\partial f}{\partial z}=e^{x+y}.

Passo 3

Agora precisamos das derivadas parciais das componentes de \varphi. Escrevendo \varphi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) temos
x(u,v)=\cos u,\qquad y(u,v)=\operatorname{sen} u,\qquad z(u,v)=v.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial x}{\partial u}=-\operatorname{sen} u,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=0,
\frac{\partial y}{\partial u}=\cos u,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=0,
\frac{\partial z}{\partial u}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial v}=1.
Em forma de matriz Jacobiana D\varphi(u,v) (3 linhas, 2 colunas):
D\varphi(u,v)= \begin{pmatrix} -\operatorname{sen} u & 0\\[4pt] \cos u & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para composição de função escalar com mapa vetorial. A regra diz, de forma compacta:
D(\,f\circ\varphi\,)(u,v)=Df\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\;D\varphi(u,v).
Aqui Df é a linha \bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y},\tfrac{\partial f}{\partial z}\bigr) avaliada em \varphi(u,v), e D\varphi é a matriz obtida no passo anterior. Para funções escalares isso equivale às fórmulas de derivadas parciais por produto escalar:
\frac{\partial \tilde{f}}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u},
\frac{\partial \tilde{f}}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v}.

Passo 5

Substituímos as derivadas de f (do Passo 2) e as derivadas de \varphi (do Passo 3). Primeiro avalie as parciais de f no ponto (x,y,z)=(\cos u,\operatorname{sen} u,v). Defina para simplificar
E:=e^{\cos u+\operatorname{sen} u},
A:=\cos^{3}u+3\cos u\,\operatorname{sen}^{2}u+v.
Então, usando as fórmulas do Passo 2:
\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(\cos u,\operatorname{sen} u,v\bigr) =E\bigl(A+3\cos^{2}u+3\operatorname{sen}^{2}u\bigr).
Mas 3\cos^{2}u+3\operatorname{sen}^{2}u=3(\cos^{2}u+\operatorname{sen}^{2}u)=3. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(\cos u,\operatorname{sen} u,v\bigr)=E\bigl(A+3\bigr).
Para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\cos u,\operatorname{sen} u,v\bigr)=E\bigl(A+6\cos u\,\operatorname{sen} u\bigr).
E para \partial f/\partial z:
\frac{\partial f}{\partial z}\bigl(\cos u,\operatorname{sen} u,v\bigr)=E.
Agora aplicamos as fórmulas da cadeia:
\begin{aligned} \frac{\partial\tilde{f}}{\partial u}(u,v) &= \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial z}\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\cdot\frac{\partial z}{\partial u}\\[4pt] &= E\bigl(A+3\bigr)\cdot\bigl(-\operatorname{sen} u\bigr) + E\bigl(A+6\cos u\,\operatorname{sen} u\bigr)\cdot\cos u + E\cdot 0. \end{aligned}
Fatorando E:
\frac{\partial\tilde{f}}{\partial u}(u,v) =E\Bigl[-\operatorname{sen} u\,(A+3)+\cos u\,(A+6\cos u\,\operatorname{sen} u)\Bigr].
Para \partial\tilde{f}/\partial v temos (note que \partial x/\partial v=\partial y/\partial v=0 e \partial z/\partial v=1):
\frac{\partial\tilde{f}}{\partial v}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial z}\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\cdot 1 = E.]

Passo 6

Podemos expandir um pouco a expressão de \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial u} para ficar mais interpretável. Lembrando A=\cos^{3}u+3\cos u\,\operatorname{sen}^{2}u+v, temos:
\begin{aligned} \frac{\partial\tilde{f}}{\partial u}(u,v) &=E\Bigl(A(\cos u-\operatorname{sen} u) + 6\cos^{2}u\,\operatorname{sen} u -3\operatorname{sen} u\Bigr)\\[4pt] &=E\Bigl(A(\cos u-\operatorname{sen} u) +3\operatorname{sen} u\,(2\cos^{2}u-1)\Bigr). \end{aligned}
Se preferir, mantenha a forma já obtida no passo anterior; ambas representam a mesma derivada. A derivada em relação a v ficou simplesmente E.]

Resposta

\displaystyle \frac{\partial\tilde{f}}{\partial u}(u,v)=e^{\cos u+\operatorname{sen} u}\Bigl[-\operatorname{sen} u\bigl(\cos^{3}u+3\cos u\,\operatorname{sen}^{2}u+v+3\bigr)+\cos u\bigl(\cos^{3}u+3\cos u\,\operatorname{sen}^{2}u+v+6\cos u\,\operatorname{sen} u\bigr)\Bigr]\n
\displaystyle \frac{\partial\tilde{f}}{\partial v}(u,v)=e^{\cos u+\operatorname{sen} u}

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