Calcule a derivada de \tilde{f} em cada caso.
f(x, y)=e^{x}\left(x^{2}+y^{3}\right), \quad \alpha(t)=\left((3+t)^{2}, 2-t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \tilde{f}, onde \tilde{f} é a função composição de f com \alpha. As informações dadas são:
f(x,y)=e^{x}\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr),
\alpha(t)=\bigl((3+t)^{2},\,2-t^{2}\bigr).
Queremos encontrar \tilde{f}'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(f(\alpha(t))\bigr) para t genérico.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática e fórmula): quando temos \tilde{f}(t)=f(\alpha(t)) com \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr), a derivada é dada pela regra da cadeia multivariada — ou seja, o produto escalar do gradiente de f com a derivada de \alpha:
\tilde{f}'(t)=\nabla f\bigl(\alpha(t)\bigr)\cdot \alpha'(t) = f_{x}\bigl(\alpha(t)\bigr)\,x'(t)+f_{y}\bigl(\alpha(t)\bigr)\,y'(t).
Aqui f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Vou explicar cada passo:
  • f(x,y)=e^{x}\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr) é produto de e^{x} por (x^{2}+y^{3}). Para f_{x} usamos a regra do produto e que \dfrac{\partial}{\partial x}e^{x}=e^{x}:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\bigr)\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr)+e^{x}\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr) = e^{x}\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr)+e^{x}\cdot 2x.
Factorizando:
f_{x}(x,y)=e^{x}\bigl(x^{2}+2x+y^{3}\bigr).
  • Para f_{y}, e^{x} é constante em relação a y e \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{3})=3y^{2}, então
f_{y}(x,y)=e^{x}\cdot 3y^{2}=3e^{x}y^{2}.

Passo 4

Calcular \alpha'(t) compondo derivadas das coordenadas:
x(t)=(3+t)^{2}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2(3+t),
y(t)=2-t^{2}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=-2t.
Logo
\alpha'(t)=\bigl(2(3+t),\,-2t\bigr).

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em \alpha(t). Substituímos x=(3+t)^{2} e y=2-t^{2} nas expressões de f_{x} e f_{y}:
f_{x}\bigl(\alpha(t)\bigr)=e^{(3+t)^{2}}\Bigl((3+t)^{4}+2(3+t)^{2}+(2-t^{2})^{3}\Bigr),
f_{y}\bigl(\alpha(t)\bigr)=3e^{(3+t)^{2}}(2-t^{2})^{2}.
Obs.: calculei (x)^{2}=\bigl((3+t)^{2}\bigr)^{2}=(3+t)^{4} e y^{3}=(2-t^{2})^{3}.

Passo 6

Agora fazemos o produto escalar conforme a fórmula do Passo 2:
\tilde{f}'(t)=f_{x}\bigl(\alpha(t)\bigr)\cdot x'(t)+f_{y}\bigl(\alpha(t)\bigr)\cdot y'(t).
Substituindo tudo:
\tilde{f}'(t)=e^{(3+t)^{2}}\Bigl((3+t)^{4}+2(3+t)^{2}+(2-t^{2})^{3}\Bigr)\cdot 2(3+t) +3e^{(3+t)^{2}}(2-t^{2})^{2}\cdot(-2t).
Podemos fatorar 2e^{(3+t)^{2}} para simplificar a aparência:
\tilde{f}'(t)=2e^{(3+t)^{2}}\Bigl[(3+t)\Bigl((3+t)^{4}+2(3+t)^{2}+(2-t^{2})^{3}\Bigr)-3t(2-t^{2})^{2}\Bigr].
Esta é uma forma simplificada e adequada da derivada. (Se quiser, pode expandir os termos, mas fica mais extenso.)

Passo 7

Verificação rápida (opcional, método alternativo): compor antes e derivar diretamente dá
\tilde{f}(t)=e^{(3+t)^{2}}\Bigl((3+t)^{4}+(2-t^{2})^{3}\Bigr),
aplicando regra do produto e cadeia chega-se à mesma expressão de \tilde{f}'(t) obtida acima, confirmando o resultado.

Resposta

\tilde{f}'(t)=2e^{(3+t)^{2}}\Bigl[(3+t)\Bigl((3+t)^{4}+2(3+t)^{2}+(2-t^{2})^{3}\Bigr)-3t(2-t^{2})^{2}\Bigr].

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