Calcule a derivada de
em cada caso.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
, onde
é a função composição de
com
. As informações dadas são:
Queremos encontrar
para
genérico.
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática e fórmula): quando temos
com
, a derivada é dada pela regra da cadeia multivariada — ou seja, o produto escalar do gradiente de
com a derivada de
:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou explicar cada passo:
-
é produto de por . Para usamos a regra do produto e que :
Factorizando:
- Para
, é constante em relação a e , então
Passo 4
Calcular
compondo derivadas das coordenadas:
Logo
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais em
. Substituímos
e
nas expressões de
e
:
Obs.: calculei
e
.
Passo 6
Agora fazemos o produto escalar conforme a fórmula do Passo 2:
Substituindo tudo:
Podemos fatorar
para simplificar a aparência:
Esta é uma forma simplificada e adequada da derivada. (Se quiser, pode expandir os termos, mas fica mais extenso.)
Passo 7
Verificação rápida (opcional, método alternativo): compor antes e derivar diretamente dá
aplicando regra do produto e cadeia chega-se à mesma expressão de
obtida acima, confirmando o resultado.