Determine, em cada caso, os pontos onde
é diferenciável. Calcule as derivadas parciais de
nestes pontos, encontrando as funções
e
ou fazendo o cálculo direto, o que lhe parecer mais simples.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os pontos onde
é diferenciável; (2) calcular as derivadas parciais de
nesses pontos.
As informações que temos do enunciado são:
As informações que temos do enunciado são:
Observação imediata: a expressão
só está definida quando
. Portanto qualquer análise deve considerar esse domínio (o ponto
não pertence ao domínio).
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão para trabalhar com algo mais claro. Para
vale
Substituindo no expoente:
Logo podemos escrever
Agora introduzo uma notação que facilita o uso da regra da cadeia: defina
e
Então
Passo 3
Vou decidir onde
é diferenciável. Raciocínio:
é composta de funções polinomiais e do
, e é suave (infinitamente diferenciável) em todo ponto com
. A função
é suave em todas as
. A composição de funções suaves é suave no domínio onde todas as operações estão definidas. Portanto
é diferenciável (de fato
) em todo ponto com
O ponto
não pertence ao domínio de
, então não é diferenciável ali (nem é função definida aí).
Passo 4
Agora vamos calcular as derivadas parciais usando a notação
e
. Primeiro calculo as derivadas parciais de
em termos de
e
. Escrevo
.
Aplicando regra do produto e cadeia para derivar em relação a
:
Calculo as partes separadamente:
Portanto
Agora derivada em relação a
:
Calculando:
Assim
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
. Lembre que
depende de
mas não de
. Logo:
- Derivada parcial em relação a
: como é constante quando derivamos em ,
Substituindo
e
:
Podemos usar também
se preferir.
Passo 6
- Derivadas parciais em relação a
e : pela regra da cadeia,
Calculo
e
. Como
,
Substituindo
(veja Passo 4) e
:
Novamente pode-se escrever
se desejar uma forma alternativa.
Passo 7
Dê uma última olhada para simplificar e apresentar as fórmulas de maneira compacta. Usando
e
, as derivadas ficam:
válidas para todo
com
.
Resposta
Diferenciável em
.