Determine, em cada caso, os pontos onde f é diferenciável. Calcule as derivadas parciais de f nestes pontos, encontrando as funções \tilde{f} e t ou fazendo o cálculo direto, o que lhe parecer mais simples.
f(x, y, z)=e^{-\frac{z^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}{2}} \operatorname{sen}\left(z \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os pontos onde f é diferenciável; (2) calcular as derivadas parciais de f nesses pontos.
As informações que temos do enunciado são:
f(x,y,z)=e^{-\frac{z^{2}\ln\big((x^{2}+y^{2})^{2}\big)}{2}}\;\operatorname{sen}\!\big(z\ln(x^{2}+y^{2})\big).
Observação imediata: a expressão \ln(x^{2}+y^{2}) só está definida quando x^{2}+y^{2}>0. Portanto qualquer análise deve considerar esse domínio (o ponto (0,0,z) não pertence ao domínio).

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão para trabalhar com algo mais claro. Para x^{2}+y^{2}>0 vale
\ln\big((x^{2}+y^{2})^{2}\big)=2\ln(x^{2}+y^{2}).
Substituindo no expoente:
-\frac{z^{2}\ln\big((x^{2}+y^{2})^{2}\big)}{2}=-\frac{z^{2}\cdot 2\ln(x^{2}+y^{2})}{2}=-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2}).
Logo podemos escrever
f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})^{-z^{2}}\;\operatorname{sen}\!\big(z\ln(x^{2}+y^{2})\big).
Agora introduzo uma notação que facilita o uso da regra da cadeia: defina
t(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2})
e
\tilde f(t,z)=e^{-z^{2}t}\sin(zt).
Então
f(x,y,z)=\tilde f\big(t(x,y),\,z\big).

Passo 3

Vou decidir onde f é diferenciável. Raciocínio: t(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}) é composta de funções polinomiais e do \ln, e é suave (infinitamente diferenciável) em todo ponto com x^{2}+y^{2}>0. A função \tilde f(t,z)=e^{-z^{2}t}\sin(zt) é suave em todas as (t,z)\in\mathbb{R}^{2}. A composição de funções suaves é suave no domínio onde todas as operações estão definidas. Portanto f é diferenciável (de fato C^{\infty}) em todo ponto com
x^{2}+y^{2}>0.
O ponto (x,y)=(0,0) não pertence ao domínio de f, então não é diferenciável ali (nem é função definida aí).

Passo 4

Agora vamos calcular as derivadas parciais usando a notação \tilde f e t. Primeiro calculo as derivadas parciais de \tilde f em termos de t e z. Escrevo \tilde f(t,z)=e^{-z^{2}t}\sin(zt).
Aplicando regra do produto e cadeia para derivar em relação a z:
\tilde f_{z}(t,z)=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{-z^{2}t}\big)\sin(zt)+e^{-z^{2}t}\frac{\partial}{\partial z}\big(\sin(zt)\big).
Calculo as partes separadamente:
\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{-z^{2}t}\big)=e^{-z^{2}t}\cdot(-2z t), \qquad \frac{\partial}{\partial z}\big(\sin(zt)\big)=\cos(zt)\cdot t.
Portanto
\tilde f_{z}(t,z)=e^{-z^{2}t}\big(-2zt\sin(zt)+t\cos(zt)\big) = t\,e^{-z^{2}t}\big(-2z\sin(zt)+\cos(zt)\big).
Agora derivada em relação a t:
\tilde f_{t}(t,z)=\frac{\partial}{\partial t}\big(e^{-z^{2}t}\big)\sin(zt)+e^{-z^{2}t}\frac{\partial}{\partial t}\big(\sin(zt)\big).
Calculando:
\frac{\partial}{\partial t}\big(e^{-z^{2}t}\big)=e^{-z^{2}t}\cdot(-z^{2}), \qquad \frac{\partial}{\partial t}\big(\sin(zt)\big)=\cos(zt)\cdot z.
Assim
\tilde f_{t}(t,z)=e^{-z^{2}t}\big(-z^{2}\sin(zt)+z\cos(zt)\big) = z\,e^{-z^{2}t}\big(-z\sin(zt)+\cos(zt)\big).

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de f. Lembre que t depende de x,y mas não de z. Logo:
  • Derivada parcial em relação a z: como t é constante quando derivamos em z,
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\tilde f_{z}\big(t(x,y),z\big).
Substituindo \tilde f_{z} e t=\ln(x^{2}+y^{2}):
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\ln(x^{2}+y^{2})\;e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}\big(-2z\sin(z\ln(x^{2}+y^{2}))+\cos(z\ln(x^{2}+y^{2}))\big).
Podemos usar também e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}=(x^{2}+y^{2})^{-z^{2}} se preferir.

Passo 6

  • Derivadas parciais em relação a x e y: pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\tilde f_{t}\big(t(x,y),z\big)\cdot \frac{\partial t}{\partial x}(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\tilde f_{t}\big(t(x,y),z\big)\cdot \frac{\partial t}{\partial y}(x,y).
Calculo \partial t/\partial x e \partial t/\partial y. Como t(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}),
\frac{\partial t}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \frac{\partial t}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo \tilde f_{t} (veja Passo 4) e \partial t/\partial x,\partial t/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\;z\,e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}\big(-z\sin(z\ln(x^{2}+y^{2}))+\cos(z\ln(x^{2}+y^{2}))\big),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\;z\,e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}\big(-z\sin(z\ln(x^{2}+y^{2}))+\cos(z\ln(x^{2}+y^{2}))\big).
Novamente pode-se escrever e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}=(x^{2}+y^{2})^{-z^{2}} se desejar uma forma alternativa.

Passo 7

Dê uma última olhada para simplificar e apresentar as fórmulas de maneira compacta. Usando t=\ln(x^{2}+y^{2}) e A(x,y,z)=e^{-z^{2}t}=(x^{2}+y^{2})^{-z^{2}}, as derivadas ficam:
\frac{\partial f}{\partial z}=t\,A\big(-2z\sin(zt)+\cos(zt)\big),
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\;z\,A\big(-z\sin(zt)+\cos(zt)\big),
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\;z\,A\big(-z\sin(zt)+\cos(zt)\big),
válidas para todo (x,y,z) com x^{2}+y^{2}>0.

Resposta

Diferenciável em \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}>0\}.
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\ln(x^{2}+y^{2})\;e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}\big(-2z\sin(z\ln(x^{2}+y^{2}))+\cos(z\ln(x^{2}+y^{2}))\big)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\;z\,e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}\big(-z\sin(z\ln(x^{2}+y^{2}))+\cos(z\ln(x^{2}+y^{2}))\big)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\;z\,e^{-z^{2}\ln(x^{2}+y^{2})}\big(-z\sin(z\ln(x^{2}+y^{2}))+\cos(z\ln(x^{2}+y^{2}))\big)

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