Calcule a derivada utilizando a definição de limite (nível: médio a difícil)
Calcule a derivada da função f(x)=x^3-5 x^2+3 utilizando a definição de limite.

Passo 1

No enunciado temos a função f(x)=x^3-5x^2+3 e queremos calcular a derivada usando a definição pelo limite. Lembrando que
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Calcular f(x+h). Substituindo x por x+h em f obtemos
f(x+h)=(x+h)^3-5(x+h)^2+3
Expandindo:
(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3, (x+h)^2=x^2+2xh+h^2,
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f(x+h)=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-5l(x^2+2xh+h^2r)+3

Passo 3

Montar a diferença incremental:
f(x+h)-f(x)h =l[x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-5(x^2+2xh+h^2)+3r]-l[x^3-5x^2+3r]h
Subtraindo f(x) e cancelando termos iguais, fica
3x^2h+3xh^2+h^3-10xh-5h^2h

Passo 4

Fatorar h no numerador e simplificar:
h,(3x^2+3xh+h^2-10x-5h)h =3x^2+3xh+h^2-10x-5h

Passo 5

Aplicar o limite hto0:
f'(x)=limhto0l(3x^2+3xh+h^2-10x-5hr) =3x^2-10x

Resposta

f'(x)=3x^2-10x

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