Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=e^x sen(x)+e^2 x cos (3 x)

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial
y''-2y'+5y = e^xsin x + e^2xcos(3x), y(0)=1,;y'(0)=2,
usando a transformada de Laplace. Vamos anotar Y(s)=Ly(x) e aplicar L em ambos os lados.

Passo 2

Aplicando L,cdot, ao lado esquerdo, lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly'=sY(s)-y(0), obtemos
Ly''-2y'+5y =(s^2Y - scdot1 -2);-;2(sY-1);+;5Y =(s^2-2s+5),Y(s);-;s

Passo 3

Agora a transformada do lado direito:
Le^xsin x=dfrac1(s-1)^2+1^2 e
Le^2xcos3x=dfracs-2(s-2)^2+3^2.
Logo a equação em s vira
(s^2-2s+5),Y(s);-;s ;=;1(s-1)^2+1 ;+;s-2(s-2)^2+9,

Passo 4

Isolando Y(s),
Y(s) =ss^2-2s+5 ;+;1l(s^2-2s+5r)l((s-1)^2+1r) ;+;s-2l(s^2-2s+5r)l((s-2)^2+9r)
Chamemos estes três termos de Yh(s), Yp1(s) e Yp2(s).

Passo 5

Transformada inversa da parte homogênea:
Yh(s)=ss^2-2s+5 =s-1(s-1)^2+2^2+1(s-1)^2+2^2
Isso dá, pelas tabelas,
yh(x) =e^xcos2x+tfrac12,e^xsin2x

Passo 6

Para
Yp1(s)=1l((s-1)^2+2^2r)l((s-1)^2+1^2r)
fazemos fração parcial em u=s-1:
1(u^2+4)(u^2+1) =-tfrac131u^2+4+tfrac131u^2+1
Invertendo,
yp1(x) =-tfrac13;L^-1ltfrac1u^2+4r +tfrac13;L^-1ltfrac1u^2+1r =-tfrac16,e^xsin2x+tfrac13,e^xsin x

Passo 7

Para
Yp2(s)=s-2l((s-1)^2+2^2r)l((s-2)^2+3^2r)
fazemos a decomposição
s-2((s-1)^2+4)((s-2)^2+9) =A(s-1)+B(s-1)^2+4+C(s-2)+D(s-2)^2+9,
com A=tfrac113, B=-tfrac726, C=-tfrac113, D=tfrac926.
Invertendo cada parcela via tabelas, obtemos
yp2(x) =tfrac113e^xcos2x-tfrac752e^xsin2x -tfrac113e^2xcos3x+tfrac326e^2xsin3x

Resposta

Somando yh+yp1+yp2, a solução final é
boxed y(x) =1413e^xcos2x +31156e^xsin2x +13e^xsin x -113e^2xcos3x +326e^2xsin3x

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