Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com as condições
e
, usando o método da Transformada de Laplace.
Para isso vamos:
• aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO,
• usar as fórmulas ,
e
,
• resolver algebricamente em -domínio para
,
• inverter cada parcela de (via frações parciais e teorema da convolução) para obter
.
Para isso vamos:
• aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO,
• usar as fórmulas
• resolver algebricamente em
• inverter cada parcela de
Passo 2
Aplicando
em cada termo e usando
obtemos
Simplificando os termos em
e os termos independentes,
Ou seja,
Passo 3
Sabemos que
Logo da última equação vem
e portanto
Passo 4
Separemos
Para
usamos frações parciais. As raízes do denominador são
de modo que
Escrevemos
com
Invertendo, obtemos a parte homogênea
Passo 5
Para
usamos o teorema da convolução. Definimos
Então
Fazendo a integral (por partes ou tabela de integrais), chega-se a
Resposta
Juntando as duas parcelas, a solução do PVI é
com