Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
4 y^prime prime+2 y^prime-y=e^x sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
4,y''(t) + 2,y'(t) - y(t) = e^tsin t,
com as condições y(0)=1 e y'(0)=2, usando o método da Transformada de Laplace.
Para isso vamos:
• aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO,
• usar as fórmulas Ly', Ly'' e Le^tsin t,
• resolver algebricamente em s-domínio para Y(s)=Ly(t),
• inverter cada parcela de Y(s) (via frações parciais e teorema da convolução) para obter y(t).

Passo 2

Aplicando L em cada termo e usando
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'(s)=s,Y(s)-y(0),
obtemos
4l(s^2Y - scdot1 -2r) +2l(sY -1r) - Y = Le^tsin t(s)
Simplificando os termos em Y(s) e os termos independentes,
l(4s^2+2s-1r),Y(s);-;(4s+8+2);=;Le^tsin t(s)
Ou seja,
l(4s^2+2s-1r),Y(s);-;(4s+10) =Le^tsin t(s)

Passo 3

Sabemos que
Le^tsin t(s) =1(s-1)^2+1
Logo da última equação vem
l(4s^2+2s-1r),Y(s) =4s+10 ;+;1(s-1)^2+1,
e portanto
Y(s) =4s+104s^2+2s-1 ;+; 1l(4s^2+2s-1r),l((s-1)^2+1r)

Passo 4

Separemos
Y(s)=Y1(s)+Y2(s), Y1(s)=4s+104s^2+2s-1, Y2(s)=1l(4s^2+2s-1r)l((s-1)^2+1r)
Para Y1(s) usamos frações parciais. As raízes do denominador são
r1,2=-1pmraiz54,
de modo que
4s^2+2s-1=4,(s-r1)(s-r2)
Escrevemos
4s+104(s-r1)(s-r2) =As-r1+Bs-r2,
com
A=4r1+104(r1-r2), B=4r2+104(r2-r1)
Invertendo, obtemos a parte homogênea
yh(t) =A,e^r1t+B,e^r2t

Passo 5

Para Y2(s) usamos o teorema da convolução. Definimos
h(t)=L^-1ltfrac14s^2+2s-1r(t) =e^r1t-e^r2t4(r1-r2)
Então
yp(t) =l(h * (e^tsin t)r)(t) =integral0^th(t-tau),e^tausintau,dtau
Fazendo a integral (por partes ou tabela de integrais), chega-se a
yp(t) =e^tl(tfrac1101sin t ;-;tfrac10101cos tr)

Resposta

Juntando as duas parcelas, a solução do PVI é
boxed y(t) =A,e^-1+raiz54t + B,e^-1-raiz54t +e^tl(tfrac1101sin t-tfrac10101cos tr),
com
A=4r1+104(r1-r2), B=4r2+104(r2-r1), r1,2=-1pmraiz54

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