Questão 02. O
lim x 0 (x+1)^4-1x
é igual a
(A) -infty
(B) 0
(C) 1
(D) 4
(E) +infty

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto0(x+1)^4-1x
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de função racional envolvendo potência, e podemos resolver usando a expansão pelo Teorema Binomial ou aplicar L’Hôpital. Vamos optar pela expansão.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, para qualquer ninN vale
(x+1)^n=sumk=0^nbinomnkx^k
No nosso caso n=4, então
(x+1)^4 =binom40x^0+binom41x^1+binom42x^2+binom43x^3+binom44x^4 =1+4x+6x^2+4x^3+x^4

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador temos
(x+1)^4-1 =(1+4x+6x^2+4x^3+x^4)-1 =4x+6x^2+4x^3+x^4
Logo a fração fica
(x+1)^4-1x =4x+6x^2+4x^3+x^4x =4+6x+4x^2+x^3

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando xto0 de cada termo:
limxto0(4+6x+4x^2+x^3) =4+6cdot0+4cdot0^2+0^3 =4

Resposta

(D) 4

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