Calcule a derivada
y=(2+\operatorname{sen} x)^{r}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = \bigl(2 + \operatorname{sen} x\bigr)^{r}
e pede a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes:
  • A expressão interna é 2+\operatorname{sen} x.
  • O expoente r é tratado aqui como uma constante real.
  • Observação útil (para domínio): 2+\operatorname{sen} x varia entre 1 e 3, portanto é sempre positiva — isso evita problemas se r for não inteiro.

Passo 2

Ideia-chave (regra da cadeia + regra da potência). Quando temos uma função composta do tipo
y = \bigl(u(x)\bigr)^{r},
onde u(x) é uma função diferenciável e r é constante, usamos a regra da cadeia combinada com a regra da potência. A fórmula é
\frac{dy}{dx} = r\bigl(u(x)\bigr)^{r-1}\cdot u'(x).
Explicando cada coisa:
  • u(x) é a “função interna” (a parte que está elevada à potência).
  • r é a constante expoente.
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
    A ideia é: derivar a potência como se fosse uma só (trazendo r na frente e reduzindo o expoente em 1) e multiplicar pela derivada do que está dentro (isso é a cadeia).

Passo 3

Identificar a função interna e derivá‑la. Aqui escolhemos
u(x)=2+\operatorname{sen} x.
Agora calculamos u'(x). Sabendo que a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2+\operatorname{sen} x\bigr)=0+\cos x=\cos x.
Comentário rápido: a constante 2 some porque a derivada de uma constante é 0.

Passo 4

Aplicar a fórmula da regra da cadeia (Passo 2) usando u(x) e u'(x) encontrados:
\frac{dy}{dx}=r\bigl(u(x)\bigr)^{r-1}\cdot u'(x) = r\bigl(2+\operatorname{sen} x\bigr)^{r-1}\cdot \cos x.
Isso já é a expressão final da derivada.

Passo 5

Verificações e casos especiais (curtinho, para te deixar mais confiante):
  • Se r=1 a fórmula dá \dfrac{dy}{dx}=\cos x, que bate com derivar y=2+\operatorname{sen} x.
  • Se r=0 então y=1 e a fórmula dá 0, ok.
  • Como 2+\operatorname{sen} x\ge 1, a expressão está bem definida para qualquer r\in\mathbb{R}.

Resposta

y' = r\bigl(2+\operatorname{sen} x\bigr)^{r-1}\cos x

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