Calcule a derivada
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A expressão interna é
. - O expoente
é tratado aqui como uma constante real. - Observação útil (para domínio):
varia entre e , portanto é sempre positiva — isso evita problemas se for não inteiro.
Passo 2
Ideia-chave (regra da cadeia + regra da potência). Quando temos uma função composta do tipo
onde
é uma função diferenciável e
é constante, usamos a regra da cadeia combinada com a regra da potência. A fórmula é
Explicando cada coisa:
-
é a “função interna” (a parte que está elevada à potência). -
é a constante expoente. -
é a derivada da função interna em relação a .
A ideia é: derivar a potência como se fosse uma só (trazendona frente e reduzindo o expoente em ) e multiplicar pela derivada do que está dentro (isso é a cadeia).
Passo 3
Identificar a função interna e derivá‑la. Aqui escolhemos
Agora calculamos
. Sabendo que a derivada de
é
, temos
Comentário rápido: a constante
some porque a derivada de uma constante é
.
Passo 4
Aplicar a fórmula da regra da cadeia (Passo 2) usando
e
encontrados:
Isso já é a expressão final da derivada.
Passo 5
Verificações e casos especiais (curtinho, para te deixar mais confiante):
- Se
a fórmula dá , que bate com derivar . - Se
então e a fórmula dá , ok. - Como
, a expressão está bem definida para qualquer .