Responda o que se pede em cada item:
Sejam S_{1} e S_{2} são subanéis de A. Prove que S_{1} \cap S_{2} é subanel de A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede aquilo que vou listar claramente (peguei tudo do enunciado):
  • São dados dois subconjuntos S_{1} e S_{2} do anel A.
  • Sabe-se que S_{1} e S_{2} são subanéis de A.
  • A tarefa é provar que S_{1}\cap S_{2} (a interseção) também é um subanel de A.

Passo 2

Primeiro, é preciso lembrar de forma prática o que significa ser um subanel. Vou apresentar uma definição simples e a ideia do que precisamos checar, explicando cada parte:
Definição prática de subanel: um subconjunto S\subseteq A é um subanel de A se, com as mesmas operações que em A, S é um anel. Em termos operacionais (forma usada com frequência em provas elementares), basta verificar:
  1. S é não vazio (ou contém o elemento neutro aditivo 0).
  2. S é fechado para subtração: para quaisquer x,y\in S tem-se x-y\in S. (Isso garante fechamento para adição e existência de inversos aditivos.)
  3. S é fechado para multiplicação: para quaisquer x,y\in S tem-se xy\in S.
Explicando por que estas condições bastam: um anel exige que o conjunto seja um grupo abeliano sob adição (logo precisa de 0, fechamento e inversos aditivos) e seja fechado e associativo sob multiplicação com distributividade. Como as operações e as propriedades associativas/distributivas já vêm de A, ao garantir que S contenha 0, seja fechado por subtração e por multiplicação, obtemos que S é anel com as mesmas leis. (Se a sua definição de subanel exigir também que 1\in S, aí precisa verificar 1\in S; mostrarei esse caso adiante.)

Passo 3

Mostro que S_{1}\cap S_{2} não é vazio e contém o elemento neutro aditivo 0.
Como S_{1} é subanel de A, ele contém 0. Como S_{2} é subanel de A, ele também contém 0. Portanto 0 pertence a ambos. Assim,
0\in S_{1}\quad\text{e}\quad 0\in S_{2},
logo
0\in S_{1}\cap S_{2}.
Isto mostra que S_{1}\cap S_{2} é não vazio e contém o neutro aditivo.

Passo 4

Mostro que S_{1}\cap S_{2} é fechado para subtração.
Sejam x,y\in S_{1}\cap S_{2}. Por definição de interseção, isso significa que
x\in S_{1},\quad x\in S_{2},\quad y\in S_{1},\quad y\in S_{2}.
Como S_{1} é subanel, ele é fechado para subtração, logo x-y\in S_{1}. Como S_{2} é subanel, ele também é fechado para subtração, logo x-y\in S_{2}. Assim x-y pertence a ambos os conjuntos, o que implica
x-y\in S_{1}\cap S_{2}.
Portanto S_{1}\cap S_{2} é fechado para subtração (e, por consequência, para adição e inversos aditivos).

Passo 5

Mostro que S_{1}\cap S_{2} é fechado para multiplicação.
Usando o mesmo raciocínio: tomemos x,y\in S_{1}\cap S_{2}. Então x,y\in S_{1} e x,y\in S_{2}. Como S_{1} é subanel, xy\in S_{1}. Porque S_{2} é subanel, xy\in S_{2}. Assim xy pertence a ambos, logo
xy\in S_{1}\cap S_{2}.
Portanto S_{1}\cap S_{2} é fechado sob multiplicação.

Passo 6

Concluo a prova juntando os itens verificados:
  • S_{1}\cap S_{2} contém 0 (não vazio).
  • S_{1}\cap S_{2} é fechado para subtração.
  • S_{1}\cap S_{2} é fechado para multiplicação.
Pelo critério prático de subanéis apresentado no Passo 2, essas propriedades bastam para garantir que S_{1}\cap S_{2} é um subanel de A.
Observação sobre o elemento 1: se a definição adotada no curso exige que um subanel contenha o elemento unitário 1 de A, então a mesma prova mostra que 1\in S_{1}\cap S_{2} porque 1\in S_{1} e 1\in S_{2} (cada subanel, nessa definição, contém 1). Assim a interseção também contém 1.

Passo 7

Um exemplo concreto para fixar a ideia (bem curto): em A=\mathbb{Z} (anteriores operações usuais), tomemos S_{1}=2\mathbb{Z} (pares) e S_{2}=3\mathbb{Z} (múltiplos de 3). Ambos são subanéis de \mathbb{Z}. A interseção S_{1}\cap S_{2} é 6\mathbb{Z} (múltiplos de 6), que também é subanel de \mathbb{Z}. Isso ilustra o argumento geral: elementos que pertencem a ambos herdam as propriedades de fechamento de cada subanel.

Resposta

S_{1}\cap S_{2} é subanel de A.

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