Responda o que se pede em cada item:
Sejam
e
são subanéis de
. Prove que
é subanel de
.
Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede aquilo que vou listar claramente (peguei tudo do enunciado):
- São dados dois subconjuntos
e do anel . - Sabe-se que
e são subanéis de . - A tarefa é provar que
(a interseção) também é um subanel de .
Passo 2
Primeiro, é preciso lembrar de forma prática o que significa ser um subanel. Vou apresentar uma definição simples e a ideia do que precisamos checar, explicando cada parte:
Definição prática de subanel: um subconjunto
é um subanel de
se, com as mesmas operações que em
,
é um anel. Em termos operacionais (forma usada com frequência em provas elementares), basta verificar:
-
é não vazio (ou contém o elemento neutro aditivo ). -
é fechado para subtração: para quaisquer tem-se . (Isso garante fechamento para adição e existência de inversos aditivos.) -
é fechado para multiplicação: para quaisquer tem-se .
Explicando por que estas condições bastam: um anel exige que o conjunto seja um grupo abeliano sob adição (logo precisa de
, fechamento e inversos aditivos) e seja fechado e associativo sob multiplicação com distributividade. Como as operações e as propriedades associativas/distributivas já vêm de
, ao garantir que
contenha
, seja fechado por subtração e por multiplicação, obtemos que
é anel com as mesmas leis. (Se a sua definição de subanel exigir também que
, aí precisa verificar
; mostrarei esse caso adiante.)
Passo 3
Mostro que
não é vazio e contém o elemento neutro aditivo
.
Como
é subanel de
, ele contém
. Como
é subanel de
, ele também contém
. Portanto
pertence a ambos. Assim,
logo
Isto mostra que
é não vazio e contém o neutro aditivo.
Passo 4
Mostro que
é fechado para subtração.
Sejam
. Por definição de interseção, isso significa que
Como
é subanel, ele é fechado para subtração, logo
. Como
é subanel, ele também é fechado para subtração, logo
. Assim
pertence a ambos os conjuntos, o que implica
Portanto
é fechado para subtração (e, por consequência, para adição e inversos aditivos).
Passo 5
Mostro que
é fechado para multiplicação.
Usando o mesmo raciocínio: tomemos
. Então
e
. Como
é subanel,
. Porque
é subanel,
. Assim
pertence a ambos, logo
Portanto
é fechado sob multiplicação.
Passo 6
Concluo a prova juntando os itens verificados:
-
contém (não vazio). -
é fechado para subtração. -
é fechado para multiplicação.
Pelo critério prático de subanéis apresentado no Passo 2, essas propriedades bastam para garantir que
é um subanel de
.
Observação sobre o elemento
: se a definição adotada no curso exige que um subanel contenha o elemento unitário
de
, então a mesma prova mostra que
porque
e
(cada subanel, nessa definição, contém
). Assim a interseção também contém
.
Passo 7
Um exemplo concreto para fixar a ideia (bem curto): em
(anteriores operações usuais), tomemos
(pares) e
(múltiplos de
). Ambos são subanéis de
. A interseção
é
(múltiplos de
), que também é subanel de
. Isso ilustra o argumento geral: elementos que pertencem a ambos herdam as propriedades de fechamento de cada subanel.