Em centros urbanos, a segurança viária exige que a luz de um semáforo de LED seja suficientemente intensa para ser percebida sob a luz solar. A intensidade luminosa (I) percebida por um observador é a potência luminosa § por unidade de área, e varia inversamente com o quadrado da distância ® da fonte. Considerando que a lâmpada é uma fonte pontual e isotrópica, um pedestre observa o semáforo a 20 m de distância. Para que a intensidade luminosa percebida seja de, no mínimo, 0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2, qual deve ser a potência luminosa mínima § da lâmpada LED?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Distância entre o pedestre e a lâmpada: r=20\\ \mathrm{m}.
  • Intensidade luminosa mínima desejada: I_{\min}=0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • A lâmpada é tratada como fonte pontual e isotrópica (irradia igualmente em todas as direções).
    O que se pede: determinar a potência luminosa mínima P da lâmpada LED para que o observador a 20\\ \mathrm{m} receba pelo menos 0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 2

Entendendo o conceito físico (de forma simples e prática):
  • A intensidade luminosa I que o observador percebe é a potência emitida pela fonte por unidade de área na superfície sobre a qual essa potência é distribuída.
  • Para uma fonte pontual e isotrópica, a potência total P é distribuída uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r.
  • A área dessa esfera é 4\pi r^{2}.
    Portanto, a relação entre intensidade, potência e distância é dada por:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui:
  • I é a intensidade em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2,
  • P é a potência total emitida em \mathrm{W},
  • r é a distância em \mathrm{m},
  • 4\pi r^{2} é a área da esfera onde a potência se espalha.

Passo 3

Isolando P na fórmula para obter a potência necessária:
P = I \cdot 4\pi r^{2}.
Isso vem de multiplicar ambos os lados da relação anterior por 4\pi r^{2}. Aqui estamos dizendo: potência necessária = intensidade desejada × área da esfera a r.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos fornecidos:
  • r=20\\ \mathrm{m} implica r^{2}=20^{2}=400\\ \mathrm{m}^{2}.
  • I=0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
    Logo
P = 0{,}2 \cdot 4\pi \cdot 400.
Calcule passo a passo:
4\cdot 400 = 1600,
então
P = 0{,}2 \cdot 1600\pi = 320\pi\\ \mathrm{W}.
Este é o resultado exato em termos de \pi.

Passo 5

Fazendo a aproximação numérica para obter um valor em watts:
  • Usando \pi \approx 3{,}1416,
P \approx 320 \times 3{,}1416 = 1005{,}312\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática para uma cifra razoável:
P \approx 1005{,}3\\ \mathrm{W}\quad(\text{aproximadamente }1{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{W}).
Interpretação final: a lâmpada LED deve ter potência luminosa total da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{W} (cerca de 1{,}0\\ \mathrm{kW}) para garantir a intensidade mínima de 0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} a 20\\ \mathrm{m} se for perfeitamente isotrópica.

Resposta

P = 320\pi\\ \mathrm{W} \approx 1005{,}3\\ \mathrm{W}

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