Calcule a derivada para cada uma das funções abaixo.
y=\frac{e^{x}}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = \frac{e^{x}}{x+1}
e pede y'. O conteúdo aqui é a Regra do Quociente, que usamos quando uma função é dada por \frac{u(x)}{v(x)}.

Passo 2

Seja
u(x) = e^{x},\quad v(x) = x+1.
A Regra do Quociente diz que
y' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = e^{x},\quad v'(x) = 1.
Substituindo na fórmula:
y' = \frac{e^{x}\,(x+1) - e^{x}\cdot 1}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Fatoramos e^{x} no numerador e simplificamos:
y' = \frac{e^{x}\bigl((x+1)-1\bigr)}{(x+1)^{2}} = \frac{x\,e^{x}}{(x+1)^{2}}.

Resposta

y' = \frac{x\,e^{x}}{(x+1)^{2}}.

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