Calcule a derivada de y=cos (x^2+1x+1).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de $ y = \cos \left( \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \right) $. A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e frações para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função do tipo $ y = \cos(u) $, onde $ u $ é uma função de $ x $, usamos a regra da cadeia. A derivada será $ y’ = -\sin(u) \cdot u’ $. Aqui, $ u = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} $, então precisamos achar $ u’ $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} $ usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se $ u = \frac{f(x)}{g(x)} $, então $ u’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^{2}} $.

Passo 4

Identificando as partes:
  • $ f(x) = x^{2} + 1 $
  • $ g(x) = x + 1 $
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $:
  • $ f’(x) = 2x $
  • $ g’(x) = 1 $

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
u' = (2x)(x + 1) - (x^2 + 1)(1)(x + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
2x(x + 1) - (x^2 + 1) = 2x^2 + 2x - x^2 - 1 = x^2 + 2x - 1
Então,
u' = x^2 + 2x - 1(x + 1)^2

Passo 6

Agora que temos $ u’ $, voltamos à derivada de $ y $:
u'
Substituindo $ u $ e $ u’ $:
y

Resposta

A derivada de $ y = \cos \left( \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \right) $ é
y = cos ( x^2 + 1x + 1 )

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