Calcule a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada de $ y = \cos \left( \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \right) $. A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e frações para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função do tipo $ y = \cos(u) $, onde $ u $ é uma função de $ x $, usamos a regra da cadeia. A derivada será $ y’ = -\sin(u) \cdot u’ $. Aqui, $ u = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} $, então precisamos achar $ u’ $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} $ usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se $ u = \frac{f(x)}{g(x)} $, então $ u’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^{2}} $.
Passo 4
Identificando as partes:
- $ f(x) = x^{2} + 1 $
- $ g(x) = x + 1 $
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $:
- $ f’(x) = 2x $
- $ g’(x) = 1 $
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 6
Agora que temos $ u’ $, voltamos à derivada de $ y $:
Substituindo $ u $ e $ u’ $:
Resposta
A derivada de $ y = \cos \left( \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \right) $ é