Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:
A lei do gás ideal é dada pela fórmula p V=k T, onde P= pressão, V= volume, T= temperatura e k= constante de proporcionalidade. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, no instante em que o volume do gás for 400 cm^3 e estiver com temperatura de 40 graus e em que o volume aumenta à razão de 0,1 cm^3 / s e a temperatura diminui à razão de 0,018 graus / s. Supor k=10.

Passo 1

A questão envolve a lei dos gases ideais dada por pV = kT e pede para encontrarmos tfracdpdt no instante em que V = 400,cm^3, T = 40 (graus), com tfracdVdt = 0,1,cm^3/s, tfracdTdt = -0,018,°/s e k=10. Vamos usar derivação implícita (regra da cadeia).

Passo 2

Isolamos p a partir de pV = kT. Assim,
p = kTV

Passo 3

No instante dado, substituindo k=10, T=40 e V=400:
p = 10 cdot 40400 = 1

Passo 4

Agora, derivamos implicitamente a equação original em relação a t. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
ddt(pV) = ddt(kT)
e portanto
dpdt,V + p,dVdt = k,dTdt

Passo 5

Isolando tfracdpdt:
dpdt = k,dTdt - p,dVdtV

Passo 6

Finalmente, substituímos k=10, dT/dt=-0,018, p=1, dV/dt=0,1 e V=400:
dpdt = 10(-0,018) - 1(0,1)400 = -0,18 - 0,1400 = -0,28400 = -0,0007

Resposta

-7 times 10^-4

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