Determine um ponto da curva
tal que a reta tangente é paralela à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto na curva $ y = 1 + 2 \cos x + x $ onde a reta tangente nessa curva seja paralela à reta $ 2y - 3x = 2 $. Para resolver isso, vamos usar derivadas pra achar a inclinação da tangente e comparar com a inclinação da reta dada.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é a inclinação da reta $ 2y - 3x = 2 $. Pra isso, vamos colocar a equação na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação.
Então, partindo de:
Resolvendo pra $ y $:
Aí, a inclinação $ m $ dessa reta é $ \frac{3}{2} $.
Passo 3
Agora, queremos que a reta tangente à curva $ y = 1 + 2 \cos x + x $ tenha a mesma inclinação $ \frac{3}{2} $. Pra isso, precisamos achar a derivada da função, que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto $ x $.
Vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
A derivada fica:
Passo 4
Queremos que essa derivada seja igual a $ \frac{3}{2} $. Então, igualamos:
Resolvendo pra $ \sin x $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ \sin x = -\frac{1}{4} $. Sabemos que o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes.
Usando a função arco seno:
Calculando, temos aproximadamente:
Claro, podemos adicionar múltiplos de $ 2\pi $ pra achar outros pontos, mas vamos ficar com esse valor por enquanto.
Passo 6
Com o valor de $ x $, vamos achar o correspondente $ y $ na curva:
Substituindo $ x \approx -0,2527 $:
Como $ \cos(-x) = \cos x $:
Calculando:
Então:
Passo 7
Então, o ponto na curva $ y = 1 + 2 \cos x + x $ onde a reta tangente é paralela à reta $ 2y - 3x = 2 $ é aproximadamente $ (-0,2527, 2,6845) $.
Resposta
O ponto na curva é aproximadamente $ (-0,2527, 2,6845) $.