Determine um ponto da curva y=1+2 cos x+x tal que a reta tangente é paralela à reta 2 y-3 x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto na curva $ y = 1 + 2 \cos x + x $ onde a reta tangente nessa curva seja paralela à reta $ 2y - 3x = 2 $. Para resolver isso, vamos usar derivadas pra achar a inclinação da tangente e comparar com a inclinação da reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a inclinação da reta $ 2y - 3x = 2 $. Pra isso, vamos colocar a equação na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação.
Então, partindo de:
2y - 3x = 2
Resolvendo pra $ y $:
y = mx + b
Aí, a inclinação $ m $ dessa reta é $ \frac{3}{2} $.

Passo 3

Agora, queremos que a reta tangente à curva $ y = 1 + 2 \cos x + x $ tenha a mesma inclinação $ \frac{3}{2} $. Pra isso, precisamos achar a derivada da função, que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto $ x $.
Vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
y = 1 + 2 cos x + x
A derivada fica:
32

Passo 4

Queremos que essa derivada seja igual a $ \frac{3}{2} $. Então, igualamos:
32
Resolvendo pra $ \sin x $:
-2 sin x + 1 = 32

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ \sin x = -\frac{1}{4} $. Sabemos que o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes.
Usando a função arco seno:
x
Calculando, temos aproximadamente:
sin x = -14
Claro, podemos adicionar múltiplos de $ 2\pi $ pra achar outros pontos, mas vamos ficar com esse valor por enquanto.

Passo 6

Com o valor de $ x $, vamos achar o correspondente $ y $ na curva:
x
Substituindo $ x \approx -0,2527 $:
y
Como $ \cos(-x) = \cos x $:
y = 1 + 2 cos x + x
Calculando:
x approx -0,2527
Então:
y approx 1 + 2 cos(-0,2527) + (-0,2527)

Passo 7

Então, o ponto na curva $ y = 1 + 2 \cos x + x $ onde a reta tangente é paralela à reta $ 2y - 3x = 2 $ é aproximadamente $ (-0,2527, 2,6845) $.

Resposta

O ponto na curva é aproximadamente $ (-0,2527, 2,6845) $.

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