Encontre a série complexa de Fourier para F(x)=exp (x) em -pi <=q x <=q pi. Essa função exp (x) parece suave, mas deve haver um salto oculto para obter os coeficientes ck proporcionais a 1 / k. Onde está o salto?

Passo 1

Vamos achar a série complexa de Fourier da função F(x)=exp(x) em -π≤x≤π: precisamos usar a fórmula geral dos coeficientes c_k para funções periódicas de período 2π.
A definição dos coeficientes complexos é
ck=12piintegral-pi^piF(x)e^-ikx,dx
Então substituímos F(x)=e^x e calculamos a integral.

Passo 2

Calculamos
[
\int_{-\pi}{\pi}ex e{-ikx},dx=\int_{-\pi}{\pi}e^{(1-ik)x},dx
=\left[\frac{e{(1-ik)x}}{1-ik}\right]_{x=-\pi}{x=\pi}
=\frac{e{(1-ik)\pi}-e{-(1-ik)\pi}}{1-ik}

Passo 3

Usando que e{-ik\pi}=e{ik\pi}=(-1)^k, obtemos
ck=12pi(-1)^k(e^pi-e^-pi)1-ik =(-1)^kl(e^pi-e^-pir)2pi(1-ik)
Note que |c_k|∼1/|k| para k grande.

Passo 4

Para ver o salto, note que a extensão periódica de e^x faz saltar na borda do período. À esquerda de x=π temos e^π e à direita de x=-π temos e^{-π}. Logo o salto oculto está em x=π (e também em x=-π), com amplitude Δ=eπ-e{-π}.

Resposta

A série complexa é
F(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{ikx},
com
ck=(-1)^kl(e^pi-e^-pir)2pi(1-ik)
O salto da extensão periódica ocorre em x=π (equivalente a x=-π), de amplitude Δ=eπ-e{-π}.

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