Encontre a série complexa de Fourier para
em
. Essa função
parece suave, mas deve haver um salto oculto para obter os coeficientes
proporcionais a
. Onde está o salto?
Passo 1
Vamos achar a série complexa de Fourier da função F(x)=exp(x) em -π≤x≤π: precisamos usar a fórmula geral dos coeficientes c_k para funções periódicas de período 2π.
A definição dos coeficientes complexos é
A definição dos coeficientes complexos é
Então substituímos F(x)=e^x e calculamos a integral.
Passo 2
Calculamos
[
\int_{-\pi}{\pi}ex e{-ikx},dx=\int_{-\pi}{\pi}e^{(1-ik)x},dx
=\left[\frac{e{(1-ik)x}}{1-ik}\right]_{x=-\pi}{x=\pi}
=\frac{e{(1-ik)\pi}-e{-(1-ik)\pi}}{1-ik}
\int_{-\pi}{\pi}ex e{-ikx},dx=\int_{-\pi}{\pi}e^{(1-ik)x},dx
=\left[\frac{e{(1-ik)x}}{1-ik}\right]_{x=-\pi}{x=\pi}
=\frac{e{(1-ik)\pi}-e{-(1-ik)\pi}}{1-ik}
Passo 3
Usando que e{-ik\pi}=e{ik\pi}=(-1)^k, obtemos
Note que |c_k|∼1/|k| para k grande.
Passo 4
Para ver o salto, note que a extensão periódica de e^x faz saltar na borda do período. À esquerda de x=π temos e^π e à direita de x=-π temos e^{-π}. Logo o salto oculto está em x=π (e também em x=-π), com amplitude Δ=eπ-e{-π}.
Resposta
A série complexa é
F(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{ikx},
com
O salto da extensão periódica ocorre em x=π (equivalente a x=-π), de amplitude Δ=eπ-e{-π}.