Encontre as equações das retas tangente e normal à curva y=f(x) no ponto de abscissa indicada.
y=\left(x^{2}-1\right)^{4} ; x=2

Passo 1

O problema dá a curva y=f(x)=(x^2-1)^4 e pede as retas tangente e normal no ponto de abscissa x=2. Para isso precisamos de dois valores:
  1. A ordenada f(2), que dá o ponto em que as retas tocam a curva.
  2. A derivada f'(2), que fornece o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Calcular f(2):
f(2) = \bigl(2^2 - 1\bigr)^4 = (4-1)^4 = 3^4 = 81.
Logo o ponto de tangência é (2,81).

Passo 3

Calcular f'(x) usando regra da cadeia:
f(x) = (x^2 - 1)^4 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 4\,(x^2-1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2-1) = 4\,(x^2-1)^3 \cdot 2x = 8x\,(x^2-1)^3.

Passo 4

Avaliar em x=2:
f'(2) = 8\cdot2\,(2^2-1)^3 = 16\cdot3^3 = 16\cdot27 = 432.
Esse é o coeficiente angular m_t da reta tangente.

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{432}.

Resposta

Reta tangente:
y - 81 = 432\,(x - 2).
Reta normal:
y - 81 = -\frac{1}{432}\,(x - 2).

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