Calcule a derivada de:
y=ln (x^2)-ln ^2(x) (ln ^2(x) é apenas outra notação para (ln (x))^2)

Passo 1

O enunciado nos dá
y = lnl(x^2r) ;-;l(ln(x)r)^2
e pede y'. O conteúdo aqui é derivada de logaritmo e regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo para simplificar antes de derivar: para x>0,
lnl(x^2r) = 2,ln(x),
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y = 2,ln(x) - l(ln(x)r)^2

Passo 3

Derivamos termo a termo:
  1. 2,ln(x): aplicando ddxln(x)=tfrac1x, obtemos
ddxl[2,ln(x)r] = 2cdot1x = 2x
  1. l(ln(x)r)^2: usando regra da cadeia ddxu^2=2u,u' com u=ln(x) e u'=tfrac1x, obtemos
ddxl[l(ln(x)r)^2r] = 2,ln(x)cdot1x = 2,ln(x)x

Passo 4

Subtraindo as duas derivadas, temos
y' = 2x ;-;2,ln(x)x = 2 - 2,ln(x)x = 2l(1 - ln(x)r)x

Resposta

y' = 2l(1 - ln(x)r)x

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