Calcule a derivada de y=log 2(4^arctg x^2 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ,y=log2l(4^arctan(x^2),xr). Para resolver isso vamos usar as propriedades de logaritmos (logaritmo do produto e da potência), a mudança de base e as regras de derivação (regra da cadeia e derivada de log).

Passo 2

Aplicando a propriedade log2(AB)=log2 A+log2 B obtemos
y = log2l(4^arctan(x^2)r) + log2 x

Passo 3

Agora usamos log2l(a^ur)=ulog2 a com a=4 e u=arctan(x^2). Como log2 4=2,
log2l(4^arctan(x^2)r) = arctan(x^2),log2 4 =2,arctan(x^2)
Logo
y = 2,arctan(x^2) + log2 x

Passo 4

Derivamos termo a termo.
– Para 2,arctan(x^2) usamos a regra da cadeia: se u(x)=x^2 então
ddxarctan(u)=u'1+u^2 Longrightarrow ddxl[2,arctan(x^2)r] =2cdot2x1+(x^2)^2 =4x1+x^4
– Para log2 x usamos
ddxlog2 x=1xln 2

Resposta

y'=4x1+x^4+1xln 2

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