Exercício 9. Determine quais funções são convexas e/ou côncavas, provando suas afirmações.
f(x, y)=(x+y+1)^p.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y) = (x + y + 1)^p
e pede para determinar para quais valores de p a função é convexa e/ou côncava. Isso pertence ao conteúdo de convexidade de funções multivariáveis; aplicaremos o teste da Hessiana num domínio convexo onde x+y+1>0.

Passo 2

O domínio natural de f é
D = (x,y)inR^2 mid x+y+1>0,
que é um semiespaço convexo. Em D, f é duas vezes continuamente diferenciável, permitindo usar o critério da Hessiana.

Passo 3

Defina u = x + y + 1. Então
partial fpartial x = p,u^,p-1, partial fpartial y = p,u^,p-1
As derivadas de segunda ordem formam a Hessiana
H = fxx & fxy [6pt] fyx & fyy = p(p-1),u^,p-2 1 & 1 [3pt] 1 & 1 ]

Passo 4

Em D temos u>0, logo u^p-2>0 e o sinal de H vem apenas de p(p-1). Pelo teste da Hessiana:
– Se p(p-1)>=0, então H é semidefinida positiva e f é convexa.
– Se p(p-1)<=0, então H é semidefinida negativa e f é côncava.
A condição p(p-1)>=0 equivale a p<=0 ou p>=1.
A condição p(p-1)<=0 equivale a 0<= p<=1.

Resposta

A função ,f(x,y)=(x+y+1)^p em x+y+1>0 é:
Convexa para p<=0 ou p>=1.
Côncava para 0<= p<=1.
Nos casos p=0 e p=1 a Hessiana é nula, de modo que f fica simultaneamente convexa e côncava.

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