Exercício 9. Determine quais funções são convexas e/ou côncavas, provando suas afirmações.
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para determinar para quais valores de
a função é convexa e/ou côncava. Isso pertence ao conteúdo de convexidade de funções multivariáveis; aplicaremos o teste da Hessiana num domínio convexo onde
.
Passo 2
O domínio natural de
é
que é um semiespaço convexo. Em
,
é duas vezes continuamente diferenciável, permitindo usar o critério da Hessiana.
Passo 3
Defina
. Então
As derivadas de segunda ordem formam a Hessiana
Passo 4
Em
temos
, logo
e o sinal de
vem apenas de
. Pelo teste da Hessiana:
– Se
, então
é semidefinida positiva e
é convexa.
– Se , então
é semidefinida negativa e
é côncava.
– Se
A condição
equivale a
ou
.
A condição equivale a
.
A condição
Resposta
A função
em
é:
Convexa para ou
.
Côncava para .
Nos casos e
a Hessiana é nula, de modo que
fica simultaneamente convexa e côncava.
Convexa para
Côncava para
Nos casos