5.7F No Exemplo 5.3.2 encontramos a solução geral da edo y^prime prime+y=0. Mostre que essa edo não possui solução satisfazendo às condições y(0)=0 e y(pi)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial ordinária
y'' + y = 0
não admite solução que satisfaça as condições de contorno
y(0)=0 e y(pi)=1
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos obter a solução geral e impor as condições de contorno.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y''+y=0,
que é
r^2 + 1 = 0
As raízes são r=pm i, de modo que a solução geral é
y(x) = C1cos x + C2sin x,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Impondo a condição y(0)=0, temos
y(0) = C1cos0 + C2sin0 = C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 0
Logo C1=0 e a solução reduz-se a
y(x) = C2sin x

Passo 4

Agora impomos y(pi)=1:
y(pi) = C2sin(pi) = C2cdot0 = 0
Para satisfazer y(pi)=1 seria preciso 0=1, o que é impossível. Há, portanto, uma contradição.

Resposta

A EDO não possui solução que satisfaça simultaneamente y(0)=0 e y(pi)=1.

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