5 Determine o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vértices estão sobre a esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vértices estão sobre a esfera ,x^2+y^2+z^2=1. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, explorando também a simetria do problema.

Passo 2

Para simplificar, considere um vértice no primeiro octante (x,y,z) com x,y,z>=0. Se o paralelepípedo for centrado na origem e com arestas paralelas aos eixos, todos os vértices são (pm x,pm y,pm z). Como eles estão na esfera, temos a restrição
x^2+y^2+z^2=1
e o volume do paralelepípedo é
V=8,x,y,z

Passo 3

Vamos maximizar V sob a restrição x^2+y^2+z^2=1. Equivalente é maximizar
f(x,y,z)=x,y,z
sujeito a
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0
Introduzimos o multiplicador lambda e igualamos nabla f=lambdanabla g.

Passo 4

Calculemos as derivadas:
partial fpartial x=y,z, partial fpartial y=x,z, partial fpartial z=x,y
e
partial gpartial x=2x, partial gpartial y=2y, partial gpartial z=2z
Logo
y,z=2lambda x, x,z=2lambda y, x,y=2lambda z
Pela simetria dessas três equações, concluímos que
x=y=z

Passo 5

Substituindo x=y=z na restrição x^2+y^2+z^2=1, obtemos
3x^2=1 Longrightarrow x=1raiz3
Então o volume máximo é
Vmax=8l(1raiz3r)^3 =83raiz3 =8raiz39

Resposta

O paralelepípedo de maior volume é um cubo de aresta
2raiz3,
e o volume máximo vale
8raiz39.

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