5 Determine o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vértices estão sobre a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vértices estão sobre a esfera
. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, explorando também a simetria do problema.
Passo 2
Para simplificar, considere um vértice no primeiro octante
com
. Se o paralelepípedo for centrado na origem e com arestas paralelas aos eixos, todos os vértices são
. Como eles estão na esfera, temos a restrição
e o volume do paralelepípedo é
Passo 3
Vamos maximizar
sob a restrição
. Equivalente é maximizar
sujeito a
Introduzimos o multiplicador
e igualamos
.
Passo 4
Calculemos as derivadas:
e
Logo
Pela simetria dessas três equações, concluímos que
Passo 5
Substituindo
na restrição
, obtemos
Então o volume máximo é
Resposta
O paralelepípedo de maior volume é um cubo de aresta
,
e o volume máximo vale
.
e o volume máximo vale