Calcule a derivada de:
y=sin (e^x)ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = sinl(e^xr)ln(x)
O conteúdo principal envolve a regra do quociente e a regra da cadeia, pois temos uma divisão de duas funções e dentro do numerador há uma composição sin(e^x).

Passo 2

Seja
f(x) = sinl(e^xr), g(x) = ln(x)
Queremos y = f(x)/g(x).

Passo 3

Calculamos f'(x) usando a regra da cadeia: primeiro derivamos sin(u) em relação a u=e^x, obtendo cos(u), e depois derivamos u=e^x. Logo
f'(x) = cosl(e^xr)cdot ddxl(e^xr) = e^xcosl(e^xr)

Passo 4

Calculamos g'(x). Como g(x)=ln(x), temos
g'(x) = 1x

Passo 5

Aplicando a regra do quociente
ddxl(fgr) = f',g - f,g'g^2,
obtemos
y' = e^xcosl(e^xr),ln(x);-;sinl(e^xr),tfrac1xl(ln(x)r)^2

Passo 6

Podemos colocar tudo sobre um mesmo denominador x(ln(x))^2:
y' = x,e^xcosl(e^xr),ln(x) ;-; sinl(e^xr)x,l(ln(x)r)^2

Resposta

y' = x,e^xcosl(e^xr),ln(x) - sinl(e^xr)x,l(ln(x)r)^2

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