Calcule a derivada de y=x-1x+1 usando a definição de derivada e encontre a equação da reta tangente à curva em (0,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função y=x-1x+1 usando a definição de derivada (ou seja, o limite do quociente incremental) e, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto (0,-1). Vamos usar teoria de limites para derivada e fórmula da reta tangente.

Passo 2

Começamos aplicando a definição de derivada. Se f(x)=x-1x+1, então
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Precisamos calcular f(x+h) e a diferença f(x+h)-f(x). Note que
f(x+h)=(x+h)-1(x+h)+1=x+h-1x+h+1, então o numerador do quociente incremental é
f(x+h)-f(x)=x+h-1x+h+1-x-1x+1

Passo 4

Para juntar as frações, fazemos o mesmo denominador:
f(x+h)-f(x)=(x+h-1)(x+1)-(x-1)(x+h+1)(x+h+1)(x+1)

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador temos
(x+h-1)(x+1)=x^2+xh+h-1, (x-1)(x+h+1)=x^2+xh-h-1, subtraindo-as
l(x^2+xh+h-1r)-l(x^2+xh-h-1r)=2h Logo,
f(x+h)-f(x)=2h(x+h+1)(x+1)

Passo 6

Agora dividimos por h e tiramos o limite:
f(x+h)-f(x)h=2hh,(x+h+1)(x+1)=2(x+h+1)(x+1) Fazendo hto0 obtemos
f'(x)=2(x+1)^2

Passo 7

Para achar a reta tangente em (0,-1), avaliamos a derivada em x=0:
m=f'(0)=2(0+1)^2=2 Usamos a fórmula da reta ponto-inclinação: se (x0,y0)=(0,-1) e m=2, então
y-y0=m(x-x0)implies y+1=2(x-0)implies y=2x-1

Resposta

y'=dfrac2(x+1)^2 e a reta tangente em (0,-1) é y=2x-1.

Exercícios relacionados