Calcule a derivada de y=x^3+2 x usando a definição de derivada e encontre a equação da reta tangente à curva em (1,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y = x^3 + 2x usando a definição de derivada (limite da diferença quociente) e depois encontrar a reta tangente à curva no ponto (1,3). Vamos usar o conceito de derivada como limite e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

A definição de derivada de f(x) é
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h
Aqui temos f(x)=x^3+2x, então substituímos na definição.

Passo 3

Calculamos f(x+h):
f(x+h) = (x+h)^3 + 2(x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x + 2h
Então o numerador da diferença quociente é
f(x+h) - f(x) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x + 2h) - (x^3 + 2x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2h

Passo 4

Dividindo por h e fazendo h to 0:
f'(x) = limhto0 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2hh = limhto0 (3x^2 + 3xh + h^2 + 2) = 3x^2 + 2
Agora avaliamos em x=1:
f'(1) = 3cdot1^2 + 2 = 5,
ou seja, a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em (1,3) é m=5.

Passo 5

Para achar a equação da reta tangente usamos
y - y0 = m (x - x0),
onde (x0,y0)=(1,3) e m=5. Substituindo,
y - 3 = 5(x - 1) Rightarrow y = 5x - 5 + 3 = 5x - 2

Resposta

A derivada é y'=3x^2+2 e a reta tangente em (1,3) é y=5x-2.

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