Calcule a derivada de
usando a definição de derivada e encontre a equação da reta tangente à curva em
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função y=
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) e, em seguida, achar a reta tangente no ponto (2,
). Vamos precisar da definição de derivada e da fórmula da reta tangente.
Passo 2
Usando a definição, escrevemos:
Passo 3
Para calcular o limite quando h→0, racionalizamos o numerador multiplicando por
. Assim o numerador vira:
Passo 4
Depois da multiplicação, o quociente fica
Agora tomamos o limite h→0.
Passo 5
No limite h→0, substituímos e obtemos
Passo 6
Em x=2, a inclinação da tangente é
Passo 7
A equação da reta tangente no ponto (2,
) usa a forma ponto-inclinação:
Resposta
y-\sqrt{10}=\frac{6}{\sqrt{10}}(x-2) ou, de forma simplificada, y=\frac{6}{\sqrt{10}}x - \frac{\sqrt{10}}{5}.