Calcule a derivada de y=raiz3 x^2-2 usando a definição de derivada e encontre a equação da reta tangente à curva em (2, raiz10).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função y= raiz3x^2-2 usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) e, em seguida, achar a reta tangente no ponto (2, raiz10). Vamos precisar da definição de derivada e da fórmula da reta tangente.

Passo 2

Usando a definição, escrevemos:
f(x+h)-f(x)h = raiz3(x+h)^2-2 - raiz3x^2-2h

Passo 3

Para calcular o limite quando h→0, racionalizamos o numerador multiplicando por dfracraiz3(x+h)^2-2+raiz3x^2-2raiz3(x+h)^2-2+raiz3x^2-2. Assim o numerador vira:
(3(x+h)^2-2)-(3x^2-2)=6xh+3h^2

Passo 4

Depois da multiplicação, o quociente fica
6xh+3h^2hl(raiz3(x+h)^2-2+raiz3x^2-2r) =6x+3hraiz3(x+h)^2-2+raiz3x^2-2
Agora tomamos o limite h→0.

Passo 5

No limite h→0, substituímos e obtemos
f'(x)=6x2raiz3x^2-2=3xraiz3x^2-2

Passo 6

Em x=2, a inclinação da tangente é
m=f'(2)=3cdot2raiz3cdot2^2-2=6raiz10=3raiz105

Passo 7

A equação da reta tangente no ponto (2, raiz10) usa a forma ponto-inclinação:
y-raiz10=6raiz10(x-2)

Resposta

y-\sqrt{10}=\frac{6}{\sqrt{10}}(x-2) ou, de forma simplificada, y=\frac{6}{\sqrt{10}}x - \frac{\sqrt{10}}{5}.

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