Calcular a derivada.
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+6 x-2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{2}}.
O conteúdo é a regra da cadeia aplicada a uma potência fracionária, e precisaremos da derivada do polinômio interno.

Passo 2

Reescrevemos a função como
f(x)=\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{\tfrac{2}{3}}.
Aqui a parte interna é u(x)=3x^{2}+6x-2 e o expoente é p=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Derivamos u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)=6x+6.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para potências:
f'(x) = p\,u(x)^{\,p-1}\,u'(x) = \frac{2}{3}\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}\,(6x+6).

Passo 5

Fatoramos e simplificamos o coeficiente numérico:
\frac{2}{3}\,(6x+6)=\frac{12x+12}{3}=4x+4.
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f'(x)=(4x+4)\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Resposta

f'(x) = (4x+4)\,(3x^{2}+6x-2)^{-\tfrac{1}{3}}.

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