Calcule as derivadas abaixo através da definição \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}.
f(x)=x^{2}-3, no ponto \mathrm{x}=2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{2}-3 no ponto x_{0}=2 usando a definição
f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}.
O conteúdo necessário é: 1) montar o quociente incremental e 2) calcular o limite quando \Delta x\to0.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental para x_{0}=2:
\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x} = \frac{\bigl((2+\Delta x)^{2}-3\bigr)-\bigl(2^{2}-3\bigr)}{\Delta x}.

Passo 3

Calculamos cada termo do numerador. Primeiro,
(2+\Delta x)^{2}-3 = 4 + 4\,\Delta x + (\Delta x)^{2} - 3 = 1 + 4\,\Delta x + (\Delta x)^{2},
e
2^{2}-3 = 4 - 3 = 1.
Logo o numerador fica
\bigl(1 + 4\,\Delta x + (\Delta x)^{2}\bigr) - 1 = 4\,\Delta x + (\Delta x)^{2}.

Passo 4

Substituindo de volta no quociente incremental:
\frac{4\,\Delta x + (\Delta x)^{2}}{\Delta x} = 4 + \Delta x.
Agora tomamos o limite quando \Delta x \to 0:
\lim_{\Delta x \to 0} (4 + \Delta x) = 4.

Resposta

A derivada de f(x)=x^{2}-3 em x=2 é f'(2)=4.

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