Considere um triângulo retângulo A B C no plano cartesiano, de modo que o vértice A está fixado na origem, o vértice B se desloca sobre o eixo das ordenadas, formando o ângulo reto desse triângulo e o vértice C se move ao longo da parábola y=2 x^2. Sabendo que o ponto B começa a se mover para cima, a partir de (0,2) com velocidade constante de 5 cm/s, determine a razão com a qual a área do triângulo aumenta no instante em que a abscissa de C é igual a 2 cm .

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo ABC com A em (0,0), B em (0,y) subindo sobre o eixo y a 5 cm/s e C em (x,2x²) na parábola, sendo o ângulo reto em B. Vamos usar taxas relacionadas (derivadas em função do tempo) para achar dA/dt quando x=2.

Passo 2

Para que o ângulo em B seja reto, os lados AB e BC devem ser perpendiculares. Como AB é vertical, BC precisa ser horizontal. Logo, a ordenada de C coincide com a de B:
y = 2x^2

Passo 3

Diferenciando essa relação em função do tempo t, temos
dydt = 4xdxdt

Passo 4

Como B sobe a 5 cm/s, temos dy/dt=5. No instante pedido x=2, então
dxdt = 14xdydt = 54cdot 2 = 58 cm/s

Passo 5

A área do triângulo, com catetos AB=y e BC=x, é
A = tfrac12,ABcdot BC = tfrac12,y,x

Passo 6

Substituindo y=2x² dá
A = tfrac12,(2x^2),x = x^3

Passo 7

Derivando A em relação a t:
dAdt = 3x^2dxdt

Passo 8

Finalmente, no instante x=2 e com dx/dt=5/8:
dAdt = 3cdot 2^2 cdot 58 = 3cdot 4 cdot 58 = 608 = 152 cm^2/s

Resposta

dAdt = 152 cm^2/s

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