Considere um triângulo retângulo
no plano cartesiano, de modo que o vértice
está fixado na origem, o vértice
se desloca sobre o eixo das ordenadas, formando o ângulo reto desse triângulo e o vértice
se move ao longo da parábola
. Sabendo que o ponto
começa a se mover para cima, a partir de
com velocidade constante de 5 cm/s, determine a razão com a qual a área do triângulo aumenta no instante em que a abscissa de
é igual a 2 cm .
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo ABC com A em (0,0), B em (0,y) subindo sobre o eixo y a 5 cm/s e C em (x,2x²) na parábola, sendo o ângulo reto em B. Vamos usar taxas relacionadas (derivadas em função do tempo) para achar dA/dt quando x=2.
Passo 2
Para que o ângulo em B seja reto, os lados AB e BC devem ser perpendiculares. Como AB é vertical, BC precisa ser horizontal. Logo, a ordenada de C coincide com a de B:
Passo 3
Diferenciando essa relação em função do tempo t, temos
Passo 4
Como B sobe a 5 cm/s, temos dy/dt=5. No instante pedido x=2, então
Passo 5
A área do triângulo, com catetos AB=y e BC=x, é
Passo 6
Substituindo y=2x² dá
Passo 7
Derivando A em relação a t:
Passo 8
Finalmente, no instante x=2 e com dx/dt=5/8: