Calcule as derivadas abaixo:
Calcule as derivadas de ordem segunda e terceira de
em termos de
.
, e
e suas derivadas, onde
,
são funções infinitamente deriváveis.
Calcule as derivadas de ordem segunda e terceira de
Passo 1
Beleza! Vamos calcular as derivadas de ordem segunda e terceira da função $ f(x) = \varphi(x) \cdot \psi(g(x)) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação que estudamos: a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto ajuda quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, e a regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, como é o caso aqui com $ \psi(g(x)) $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Usando a regra do produto, temos:
Aqui, derivamos cada parte mantendo a outra constante e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ f’’(x) $. Precisamos derivar $ f’(x) $ novamente. Vamos derivar cada termo separadamente:
Explicando:
- Derivamos $ \varphi’(x) \cdot \psi(g(x)) $ para obter $ \varphi’’(x) \cdot \psi(g(x)) + \varphi’(x) \cdot \psi’(g(x)) \cdot g’(x) $.
- Derivamos $ \varphi(x) \cdot \psi’(g(x)) \cdot g’(x) $ para obter $ \varphi’(x) \cdot \psi’(g(x)) \cdot g’(x) + \varphi(x) \cdot [\psi’’(g(x)) \cdot (g’(x))^2 + \psi’(g(x)) \cdot g’’(x)] $.
- Somamos os termos resultantes.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a terceira derivada, $ f’’’(x) $. Isso envolve derivar $ f’’(x) $ novamente. Vamos fazer isso passo a passo:
Explicando:
- Derivamos $ \varphi’’(x) \cdot \psi(g(x)) $ para obter $ \varphi’’’(x) \cdot \psi(g(x)) + \varphi’’(x) \cdot \psi’(g(x)) \cdot g’(x) $.
- Derivamos $ 2 \cdot \varphi’(x) \cdot \psi’(g(x)) \cdot g’(x) $ para obter $ 2 \cdot \varphi’’(x) \cdot \psi’(g(x)) \cdot g’(x) + 2 \cdot \varphi’(x) \cdot [\psi’’(g(x)) \cdot (g’(x))^2 + \psi’(g(x)) \cdot g’’(x)] $.
- Derivamos $ \varphi(x) \cdot [\psi’’(g(x)) \cdot (g’(x))^2 + \psi’(g(x)) \cdot g’’(x)] $ para obter $ \varphi’(x) \cdot [\psi’’(g(x)) \cdot (g’(x))^2 + \psi’(g(x)) \cdot g’’(x)] + \varphi(x) \cdot [\psi’’’(g(x)) \cdot (g’(x))^3 + 3 \cdot \psi’’(g(x)) \cdot g’(x) \cdot g’’(x) + \psi’(g(x)) \cdot g’’’(x)] $.
- Somamos todos os termos resultantes.
Resposta
As derivadas de ordem segunda e terceira de $ f(x) = \varphi(x) \cdot \psi(g(x)) $ são dadas por: