Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
f(z)=1(z-1)(z-2), z0=1, 0<|z-1|<1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Laurent da função em torno do ponto , na região onde . Isso envolve decompor a função em frações mais simples e expandir cada parte para obter a série desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso facilita a expansão em série. Queremos escrever 1(z-1)(z-2) = Az-1 + Bz-2 como a soma de termos mais simples:
1 = A(z-2) + B(z-1)
Para encontrar os valores de 1 = A(2-2) + B(2-1) implies 1 = B(1) implies B = 1 e 1 = A(1-2) + B(1-1) implies 1 = -A(1) implies A = -1 , vamos multiplicar ambos os lados por 1(z-1)(z-2) = -1z-1 + 1z-2 :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a decomposição fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na segunda fração 1z-2 = 1(z-1) -1 = 1-1 + (z-1) = -11 - (z-1) . Queremos expressá-la em termos de para facilitar a expansão. Observe que:
Essa forma é útil porque podemos expandir usando uma série geométrica, desde que , o que é verdade na nossa região de interesse.

Passo 4

Sabendo que 11 - (z-1) = sumn=0^infty (z-1)^n = 1 + (z-1) + (z-1)^2 + (z-1)^3 + dots , podemos expandir 1z-2 = -(1 + (z-1) + (z-1)^2 + (z-1)^3 + dots) como uma série geométrica:
Portanto, substituindo de volta na nossa expressão de :

Passo 5

Voltando à decomposição original da função f(z) = -1z-1 + 1z-2 = -1z-1 - (1 + (z-1) + (z-1)^2 + dots) :
Isso nos dá a série de Laurent de em torno de na região .

Resposta

A série de Laurent de f(z) = -1z-1 - 1 - (z-1) - (z-1)^2 - (z-1)^3 - dots em torno de f(z) = -1z-1 - sumn=0^infty (z-1)^n , na região , é:
Ou, de forma mais compacta:

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