Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Laurent da função
em torno do ponto
, na região onde
. Isso envolve decompor a função em frações mais simples e expandir cada parte para obter a série desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso facilita a expansão em série. Queremos escrever
como a soma de termos mais simples:
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Quando
:
- Quando
:
Então, a decomposição fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na segunda fração
. Queremos expressá-la em termos de
para facilitar a expansão. Observe que:
Essa forma é útil porque podemos expandir
usando uma série geométrica, desde que
, o que é verdade na nossa região de interesse.
Passo 4
Sabendo que
, podemos expandir
como uma série geométrica:
Portanto, substituindo de volta na nossa expressão de
:
Passo 5
Voltando à decomposição original da função
:
Isso nos dá a série de Laurent de
em torno de
na região
.
Resposta
A série de Laurent de
em torno de
, na região
, é:
Ou, de forma mais compacta: