Calcule as derivadas abaixo: f(x)=(x^2+2 x+3)^5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = (x^2 + 2x + 3)^5. O conteúdo envolvido é a derivada de função composta, ou seja, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos uma função interna g(x) = x^2 + 2x + 3 e uma externa h(u) = u^5, de modo que f(x) = h(g(x)).

Passo 3

Calculamos a derivada de cada parte: de h(u)=u^5 vem h'(u)=5u^4, e de g(x)=x^2+2x+3 vem g'(x)=2x+2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=h'(g(x))cdot g'(x)
Substituindo:
f'(x)=5l(g(x)r)^4cdot(2x+2)=5(x^2+2x+3)^4,(2x+2)
Para simplificar, note que 2x+2=2(x+1), logo obtemos:
f'(x)=10(x+1)(x^2+2x+3)^4

Resposta

f'(x)=10(x+1)(x^2+2x+3)^4

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