Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(t)=e^-t cos (3 t).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=e^{-t} cos(3t) usando regra do produto e regra da cadeia; vamos aplicar teoria de derivadas de funções compostas e produtos.

Passo 2

Escrevemos f(t) como produto de duas funções u(t)=e^{-t} e v(t)=\cos(3t). Pela regra do produto temos f’(t)=u’(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v’(t).

Passo 3

Calculamos u’(t). Como u(t)=e^{g(t)} com g(t)=-t, a regra da cadeia dá u’(t)=e^{g(t)}\cdot g’(t)=e{-t}\cdot(-1)=-e{-t}.

Passo 4

Calculamos v’(t). Como v(t)=\cos(h(t)) com h(t)=3t, a regra da cadeia dá v’(t)=-\sin(h(t))\cdot h’(t)=-\sin(3t)\cdot3=-3\sin(3t).

Passo 5

Substituímos u’(t) e v’(t) em f’(t):
f'(t)=(-e^-t)cdotcos(3t)+e^-tcdot(-3sin(3t))

Passo 6

Por fim, simplificamos fatorando e^{-t}:
f'(t)=-e^-tl(cos(3t)+3sin(3t)r)

Resposta

f’(t)=-e^{-t}\bigl(\cos(3t)+3\sin(3t)\bigr).

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