Calcule as derivadas abaixo: f(x)=(-3 x^5+2 x^3-43)^9

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x) = (-3x^5 + 2x^3 - 43)^9. Isso é um exercício de derivação de função composta, onde vamos usar a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Vamos definir a parte interna como u(x) = -3x^5 + 2x^3 - 43 e a parte externa como g(u) = u^9. Pela regra da cadeia, a derivada de f(x)=g(u(x)) é dada por f'(x) = g'(u(x)) cdot u'(x).

Passo 3

Primeiro derivamos a parte externa em função de u:
g(u) = u^9 Rightarrow g'(u) = 9u^8

Passo 4

Em seguida derivamos a parte interna u(x) = -3x^5 + 2x^3 - 43:
u'(x) = ddx(-3x^5) + ddx(2x^3) + ddx(-43) = -15x^4 + 6x^2 + 0 = -15x^4 + 6x^2

Passo 5

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
f'(x) = g'(u(x)) cdot u'(x) = 9l(-3x^5 + 2x^3 - 43r)^8 cdot (-15x^4 + 6x^2)
Podemos, se quisermos, fatorar -15x^4 + 6x^2 = -3x^2(5x^2 - 2) e combinar com o 9 para ficar ainda mais simples.

Resposta

-27 x^2 (5x^2 - 2) l(-3x^5 + 2x^3 - 43r)^8

Exercícios relacionados