Determine a derivada de
, utilizando a regra da cadeia: $f(x)=\frac{3 \sec ^{2} x}{x} .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
, usando regra do quociente ou produto junto com a regra da cadeia para
. Vamos precisar de: derivada de
e derivada de
, lembrando que
.
Passo 2
Reescrevemos
como produto para usar regra do produto:
Passo 3
Aplicamos a regra do produto
. Definimos
e
. Assim,
Passo 4
Calculamos as derivadas auxiliares:
- Para
, temos - Para
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Substituímos em
:
Passo 6
Fatoramos
e potências de
para simplificar:
$$f’(x)=3\sec^2 x\Bigl(-x{-2}+2x{-1}\tan x\Bigr)
=3\sec^2 x,x^{-2}\Bigl(-1+2x\tan x\Bigr).$$