Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: $f(x)=\frac{3 \sec ^{2} x}{x} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=3sec^2 xx, usando regra do quociente ou produto junto com a regra da cadeia para sec^2 x. Vamos precisar de: derivada de x^-1 e derivada de sec^2 x, lembrando que ddxsec u=sec utan u.

Passo 2

Reescrevemos f como produto para usar regra do produto: f(x)=3,x^-1sec^2 x

Passo 3

Aplicamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Definimos u(x)=x^-1 e v(x)=sec^2 x. Assim, f'(x)=3l(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)r)

Passo 4

Calculamos as derivadas auxiliares:
  • Para u(x)=x^-1, temos u'(x)=-x^-2
  • Para v(x)=sec^2 x, usamos a regra da cadeia: v'(x)=2sec xcdotddx(sec x)=2sec xcdot(sec xtan x)=2sec^2 xtan x

Passo 5

Substituímos em f'(x)=3l(u'v+uv'r):
f'(x)=3l((-x^-2)sec^2 x + x^-1(2sec^2 xtan x)r)

Passo 6

Fatoramos sec^2 x e potências de x para simplificar:
$$f’(x)=3\sec^2 x\Bigl(-x{-2}+2x{-1}\tan x\Bigr)
=3\sec^2 x,x^{-2}\Bigl(-1+2x\tan x\Bigr).$$

Resposta

f'(x)=3sec^2 x,(2xtan x-1)x^2

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