Se f(x)=raiz[3]2 x^4-3 x^2+9, calcule: b) f^prime(1)

Passo 1

A questão dá a função f(x)=raiz[3]2x^4-3x^2+9 e pede a derivada em x=1. Vamos usar derivação de potência fracionária e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos g(x)=2x^4-3x^2+9, de modo que f(x)=[g(x)]^1/3. Pela regra da cadeia,
f'(x)=13[g(x)]^-2/3cdot g'(x)

Passo 3

Calculamos g'(x)=8x^3-6x. Logo,
f'(x)=13(2x^4-3x^2+9)^-2/3(8x^3-6x)

Passo 4

Agora substituímos x=1:
$$f’(1)=\frac{1}{3}(2\cdot14-3\cdot12+9){-2/3}(8\cdot13-6\cdot1)
=\frac{1}{3}(8)^{-2/3}\cdot2.$$

Passo 5

Como 8^2/3=(8^1/3)^2=2^2=4, segue
$$f’(1)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}.
$$

Resposta

f'(1)=tfrac16.

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