Calcule as derivadas abaixo:
g(x)=(1+4 x)^5(3+x-x^2)^8,

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x) = (1 + 4x)^5,(3 + x - x^2)^8
O conteúdo aqui é a aplicação da regra do produto (derivada de ucdot v) junto com a regra da cadeia (derivada de função composta).

Passo 2

Seja
u(x) = (1 + 4x)^5, v(x) = (3 + x - x^2)^8
Pela regra do produto,
g'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Para u(x) = (1 + 4x)^5 usamos a cadeia com t = 1 + 4x e u = t^5. Então
u'(x) = 5,(1 + 4x)^4 ;times; ddx(1 + 4x) = 5,(1 + 4x)^4 times 4 = 20,(1 + 4x)^4

Passo 4

Para v(x) = (3 + x - x^2)^8 usamos a cadeia com s = 3 + x - x^2 e v = s^8. Então
v'(x) = 8,(3 + x - x^2)^7 ;times; ddx(3 + x - x^2) = 8,(3 + x - x^2)^7 times (1 - 2x)

Passo 5

Substituindo em
g'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
temos
g'(x) = 20,(1 + 4x)^4,(3 + x - x^2)^8 + (1 + 4x)^5,8,(1 - 2x),(3 + x - x^2)^7
Agora fatoramos o fator comum (1 + 4x)^4(3 + x - x^2)^7:
g'(x) = (1 + 4x)^4(3 + x - x^2)^7 l[20,(3 + x - x^2) + 8,(1 + 4x)(1 - 2x)r]
Ao simplificar o colchete obtemos
20(3 + x - x^2) + 8(1 + 4x)(1 - 2x) = 68 + 36x - 84x^2 = 4,(17 + 9x - 21x^2)
Logo

Resposta

g'(x) = 4,(1 + 4x)^4,(3 + x - x^2)^7,(17 + 9x - 21x^2)

Exercícios relacionados