Calcule as derivadas parciais da seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=integralx^x^2+y^2 e^t d t e P=(1,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=integralx^,x^2+y^2e^t,dt
no ponto P=(1,2). Vamos usar a regra de Leibniz para integrais com limites dependentes de variáveis.

Passo 2

Para derivar em relação a x, escrevemos
,f(x,y)=integrala(x,y)^b(x,y)e^tdt com a(x,y)=x e b(x,y)=x^2+y^2.
A regra de Leibniz dá
partial fpartial x = e^,b(x,y)partial bpartial x - e^,a(x,y)partial apartial x
Como
partial apartial x=1 e partial bpartial x=2x, segue
partial fpartial x =2x,e^,l(x^2+y^2r) - e^,x

Passo 3

Para derivar em relação a y, a regra análoga dá
partial fpartial y = e^,b(x,y)partial bpartial y - e^,a(x,y)partial apartial y
Aqui partial bpartial y=2y e partial apartial y=0, logo
partial fpartial y =2y,e^,l(x^2+y^2r)

Passo 4

Agora avaliamos em P=(1,2):
partial fpartial x(1,2) =2cdot1,e^,l(1^2+2^2r) - e^,1 =2e^5-e,
partial fpartial y(1,2) =2cdot2,e^,l(1^2+2^2r) =4e^5

Resposta

partial fpartial x(1,2)=2e^5-e
partial fpartial y(1,2)=4e^5

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