Entender a região de integração é fundamental. A condição y^{2}\le x\le 9 com 0\le y\le3 descreve o conjunto de pontos (x,y) tais que:
x está entre a parábola x=y^{2} (à direita dela) e a reta vertical x=9,
y está entre 0 e 3.
Para trocar a ordem de integração (integrar primeiro em y e depois em x) determine os limites em termos de x. Da desigualdade x\ge y^{2} com y\ge0 segue 0\le y\le\sqrt{x}. O menor x possível na região é x=0 (quando y=0) e o maior é x=9 (quando y=3). Logo, ao trocar as integrais obten-se 0\le x\le9 e 0\le y\le\sqrt{x}.
Passo 3
Escrevendo a integral com a ordem trocada (justificável porque o integrando é contínuo na região limitada):
Lembrando que aqui 81 é em radianos (as funções trigonométricas em cálculo usam radianos).
Passo 7
Conferindo: todas as trocas e integrações foram feitas de forma direta e não há primitivas elementares adicionais. O valor final obtido é \dfrac{1}{4}\sin(81). Vai dar certo na prova — mesmo que pareça estranho obter um seno de um número grande, está correto e é a forma exata da resposta.