Calcule \int_{0}^{3} \int_{y^{2}}^{9} y \cos \left(x^{2}\right) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{3}\int_{y^{2}}^{9} y\cos\left(x^{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável externa é y com 0\le y\le3.
  • A variável interna é x com y^{2}\le x\le 9.
  • O integrando é y\cos\left(x^{2}\right).
O objetivo é avaliar essa integral numérica.

Passo 2

Entender a região de integração é fundamental. A condição y^{2}\le x\le 9 com 0\le y\le3 descreve o conjunto de pontos (x,y) tais que:
  • x está entre a parábola x=y^{2} (à direita dela) e a reta vertical x=9,
  • y está entre 0 e 3.
Para trocar a ordem de integração (integrar primeiro em y e depois em x) determine os limites em termos de x. Da desigualdade x\ge y^{2} com y\ge0 segue 0\le y\le\sqrt{x}. O menor x possível na região é x=0 (quando y=0) e o maior é x=9 (quando y=3). Logo, ao trocar as integrais obten-se 0\le x\le9 e 0\le y\le\sqrt{x}.

Passo 3

Escrevendo a integral com a ordem trocada (justificável porque o integrando é contínuo na região limitada):
\int_{0}^{3}\int_{y^{2}}^{9} y\cos\left(x^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{9}\int_{0}^{\sqrt{x}} y\cos\left(x^{2}\right)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule a integral interna em y. Note que \cos\left(x^{2}\right) é constante em relação a y, então pode sair da integral em y:
\int_{0}^{\sqrt{x}} y\cos\left(x^{2}\right)\,dy = \cos\left(x^{2}\right)\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy.
Agora calcule a primitiva simples de y:
\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{0}^{\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2} = \frac{1}{2}x.
Portanto a integral interna vale \dfrac{1}{2}x\cos\left(x^{2}\right).

Passo 5

A integral dupla reduz-se a uma integral de uma variável:
\int_{0}^{9} \frac{1}{2}x\cos\left(x^{2}\right)\,dx.
Para resolver essa integral use a substituição adequada. Seja
u = x^{2}.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Também os limites transformam-se: quando x=0 tem u=0; quando x=9 tem u=81.

Passo 6

Aplique a substituição na integral:
\int_{0}^{9} \frac{1}{2}x\cos\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{9} x\cos\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int_{u=0}^{u=81} \cos(u)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{4}\int_{0}^{81}\cos(u)\,du.
A integral de \cos(u) é \sin(u), então
\frac{1}{4}\int_{0}^{81}\cos(u)\,du = \frac{1}{4}\left.\sin(u)\right|_{0}^{81} = \frac{1}{4}\sin(81).
Lembrando que aqui 81 é em radianos (as funções trigonométricas em cálculo usam radianos).

Passo 7

Conferindo: todas as trocas e integrações foram feitas de forma direta e não há primitivas elementares adicionais. O valor final obtido é \dfrac{1}{4}\sin(81). Vai dar certo na prova — mesmo que pareça estranho obter um seno de um número grande, está correto e é a forma exata da resposta.

Resposta

\dfrac{1}{4}\sin(81)

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